Почему корень квадратный?

– Ты где был?
Петька отвечает:
– В школу ходил!
– А почему грязный такой?
– Велели квадратный корень отыскать. Весь огород перерыл, ни одного квадратного не попалось!

Анекдот, конечно детский, но давайте подумаем: а собственно говоря почему именно корень? Да ещё и квадратный? Почему такое странное название?

Может, это только по-русски «корень»? А на другом языке как-нибудь иначе? А вот и нет. По-английски «square root» – «квадратный корень». По-арабски «джызр тарбии» – снова квадратный и снова корень. Даже по-японски «хейхокон» – опять тот же «квадратный корень»…

А ещё у этого «квадратного корня» непонятный значок – то ли галочка, то ли птичка. Ни грамма не квадратная, и на корень тоже непохожая! Ну где логика?!

Начнём со значка. Эта странная «птичка» – на самом деле сильно «переделанная» латинская буква «r». Потому что по-латыни «корень» – «радикс», «radix».

Между прочим, от того же корня происходят наши слова «редиска» и «редька»! Впрочем, ясности это не добавляет, поскольку редиска и редька – хоть и корни (корнеплоды), но не квадратные ни капельки!

(Кстати, если вы не в курсе – в Японии всё-таки придумали выращивать квадратные арбузы. Но это было уже в XX веке и к математике отношения не имеет.)

В XVI веке математики для обозначения корня так и писали, буквами:

Но это было сложно и долго. Математикам надоело, и они стали писать «сокращённо»:

Ну а потом буква «r» превратилась в привычную школьникам «птичку с чёрточкой»:

Осталось всё-таки «докопаться до корня», то есть понять, почему же всё-таки «корень». А не «плод», не «ствол», не «стебель» и не «дупло». И почему же он квадратный. Для этого из XVI века перенесёмся в совсем-совсем далёкое прошлое, примерно на две тысячи лет назад, во времена выдающегося древнегреческого математика Пифагора.

В те времена цифр – то есть специальных значков для записи чисел, как наши 1, 2, 3 и так далее – ещё не придумали. А для того, чтобы производить действия с числами – скажем, считать деньги, имущество или что-то ещё – использовали «счётные бобы» или «счётные камушки». Видишь у человека на поясе мешочек со счётными бобами? Сразу видно – математик идёт!

Отсчитывая числа с помощью бобов или камешков, люди очень быстро сообразили, что некоторые числа – особенные. Потому что из них можно выкладывать красивые фигурки. Скажем, число 4. Из четырёх камушков получается красивая фигурка – квадрат.

Или число 9 – из них тоже можно выложить красивый правильный квадрат:

Или число 16 – тоже получается очень красивый квадрат!

Такие числа последователи Пифагора – Пифагорейцы – стали называть «фигурными» или «квадратными».

Квадратных чисел было не так много, поэтому Пифагорейцы их очень почитали. Пифагор и его ученики вообще считали, что числа – это созданные богами «зёрна истины», и поклонялись числам, как богам.

Ф.А. Бронников. «Пифагорейцы поют гимн восходящему солнцу». Да-да, математики, они такие! А сейчас, что, не так разве?

Наблюдая за фигурными числами, пифагорейцы выяснили, что у каждого квадратного числа есть «корень» – то есть ряд камешков, расположенный в самом низу. У квадратного числа 4 «корнем» будет 2. У квадратного числа 9 корнем будет 3. У числа 16 корнем будет 4:

Вот отсюда-то и возникло название «корень квадрата», «квадратный корень» – по преданию, его придумал сам Пифагор. Квадратные числа пифагорейцы связывали со стихией земли.

А бывают ли другие фигурные числа, не квадратные? Конечно же бывают. Например, число 12 пифагорейцы называли «прямоугольным». Почему? Потому что из 12 камешков не получится сложить правильный квадрат, а вот прямоугольник – можно!

Причём аж целых четыре разных варианта – прямоугольник 6 на 2, прямоугольник 4 на 3, прямоугольник 3 на 4 и прямоугольник 2 на 6. В причудливой «математической религии» Пифагора прямоугольные числа «заведовали» стихией воды.

Стихией огня в этой системе управляли – уже догадались? – правильно, треугольные числа. Скажем, мы можем сложить правильный треугольник из 3 камушков. А ещё – из 6 камушков. А ещё – из 10 камушков. И так далее.

«Десятка» была самым священным, самым почитаемым числом среди учеников Пифагора, а сложенный из 10 камушков треугольник («тетраксис») был одним из «тайных знаков» пифагорейцев, ему приписывались самые разные магические свойства. С древних времён но нас дошла даже молитва Пифагорейцев:

Благослови нас, о божественная Тетраксис,
Та, от которой рождены боги и люди,
Начинающаяся с пречистой монады [единицы]
Завершающаяся священной четвёркой
Рождающая матерь всего живущего
Всеохватывающая, изначальная, безупречная
Священная десятка, предводительница всего!

Вам это может показаться редкостным бредом, но пифагорейцы относились к этому очень даже всерьёз. Эту молитву нужно было читать каждый день, а сам Пифагор для учеников был полубогом, великим пророком, «Прометеем математики», «принёсшим Тетраксис людям».

Но вернёмся от молитв к числам. Всё те же самые неутомимые ученики Пифагора тонко подметили, что все треугольные числа можно получить, если складывать все натуральные числа, идущие друг за другом, смотрите:

Первое треугольное число 3 равно сумме чисел 1 + 2

Второе треугольное число 6 равно сумме чисел 1 + 2 + 3

Третье треугольное число 10 равно сумме чисел 1 + 2 + 3 + 4

Четвёртое треугольное число 15 равно сумме чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5…

и так далее!

Наконец, были и четвёртые фигурные числа, которым соответствовала стихия воздуха. Это были удивительные числа, из которых нельзя сложить никакую фигуру, кроме «палочки». Скажем, число 11 или число 13. Попробуйте сложить из такого количества счётных камешков квадрат. Или треугольник. Или прямоугольник. Ничегошеньки не выйдет! Только «палочка».

В современной математике такие числа называют «простыми», или «неразложимыми на простые сомножители».

Вы, вероятно, знаете, что в магической системе обязательно должен быть загадочный «пятый элемент», «квинтэссенция», «божественный эфир». Есть огонь, воздух, земля, вода – а что насчёт пятого элемента?

«Пятым элементом» стали (неудивительно, правда?) пятиугольные числа. Первое пятиугольное число («пентаграмма») – это, само собой, 5. Второе пятиугольное число – 12. Третье пятиугольное число – 22.

Древнегреческие математики даже смогли открыть, что каждое следующее пятиугольное число состоит из «корня» и трёх треугольных чисел! Скажем, четвёртое пятиугольное число «конструируется» состоит из числа 5 («корня») и трёх треугольных чисел предыдущего порядка (то есть 4 – 1 = 3, а «третье треугольное число» у нас, как мы помним, 10). Получаем 3 х 10 + 5 = 35.

Для современного человека такие свойства – упражнение ума, развитие воображения, школьная задачка. Но Пифагорейцам всё это казалось наполненным страшно глубоким смыслом и магическими свойствами. А что делать? Всё-таки две с половиной тысячи лет назад дело было. Магия исчезла, а вот «квадратный корень» остался…