Что такое интеграл? Высшая математика для детей

В любой науке бывают разные задачи – как простые, так и сложные. А из-за слова «высшая» некоторые пугаются. Или, наоборот, задирают нос. Вот, дескать, какую мы сложную науку изучаем!..

Кстати, для тех, кто её изучает или уже изучил, задачка:

Шли 12 человек, несли 12 хлебов. Каждый мужчина нёс по 2 хлеба, каждая женщина – по половине хлеба, а каждый ребёнок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

А теперь – про «высшую» математику. Давайте поиграем… в школу магии, чародейства и волшебства. Чур я буду профессором!

На днях я изобрёл пару заклинаний, и мы с вами их сегодня вместе выучим. Первое заклинание вот какое. Наводим волшебную палочку на предмет, потом делаем взмах палочкой и произносим громко и чётко:

ДИФФЕРЕНЦИО!

Что делает это заклинание? Оно «разбирает» любой предмет на части. Например, если я возьму большой батон, и применю к нему это заклинание, то батон у меня сам по себе разрежется на ломтики. Ура, можно готовить бутерброды на весь класс!

Для того, чтобы сокращённо записывать это заклинание в тетрадке, мы будем использовать букву «d» (читается: «дэ»). Сперва будем писать букву «d», а потом – предмет, на который действует наше заклинание. Например, у меня есть шоколадка. Тогда если я напишу…

dШОКОЛАДКА

…это означает, что я применил заклинание «дифференцио» на объект «шоколадка». Что у нас получится тогда?

Совершенно верно! То есть мы можем записать:

dШОКОЛАДКА = КУСОЧКИ ШОКОЛАДКИ

А теперь внимание, вопрос: что будет означать вот такая вот надпись?

dX

Ну наверное это будет «дэ-икс»… «Дэ» – это наше заклинание. Но что такое «икс»?

А мы этого не знаем. Это что-то неизвестное. «Что-то неизвестное, разделённое на маленькие кусочки».

Например: мальчику Андрюше тысячу раз говорили не играть в футбол в квартире, а он всё-таки не послушался и… БАМС! Грохот и звон! Что разбилось, мы не знаем, но уже понимаем – что-то разбилось, разлетелось на осколки… И вот это самое «что-то» (пока нам неизвестное) и есть dX.

Мама скорее бежит в комнату и видит:

Значит, X – это ВАЗА! Тогда чему у нас будет равно dX? Что получится?

dX = dВАЗА = ОСКОЛКИ ВАЗЫ

Мама очень расстроена. А скоро с работы вернётся папа, и у мальчика Андрюши могут быть серьёзные неприятности… Поэтому, чтобы его выручить, я придумал ещё одно замечательное заклинание. Наводим волшебную палочку на осколки, потом делаем взмах палочкой и громко говорим:

ИНТЕГРО!

Давайте повторим это заклинание вместе, хором:

ИНТЕГРО!

Это заклинание соберёт осколки обратно в целую вазу!

Если применить его к отдельным разрозненным частям, то эти части сами соберутся в единое целое. Разрезанный на куски батон? Используем наше заклинание – и получаем снова целый батон. И так далее. Сокращённо в тетрадке мы это заклинание будем записывать с помощью вот такого символа:

∫

Он называется «интеграл».

Видели такой в фильме «Приключения Электроника»?

Знак интеграла показывает нам, что мы превращаем отдельные части в единое целое. Если я запишу вот так…

∫ОСКОЛКИ ВАЗЫ

… что у меня получится?

∫ОСКОЛКИ ВАЗЫ = ВАЗА

Вот ещё примеры:

∫ЛОМТИКИ ЯБЛОКА = ЯБЛОКО

∫КУСОЧКИ ШОКОЛАДКИ = ШОКОЛАДКА

А теперь давайте вместе с вами подумаем, что произойдёт, если последовательно, по очереди, использовать наши заклинания? Сперва – «дифференцио», затем – «интегро»?

Что произойдёт с предметом?

Заклинание «дифференцио» превратит предмет в отдельные кусочки. А заклинание «интегро» соберёт отдельные кусочки снова в целый предмет. То есть с предметом, получается, ничего не произойдёт!

А теперь – внимание, главный и самый важный вопрос. Если я поставлю знак интеграла, применю заклинание «интегро» к разрезанному на кусочки неизвестному нам «иксу», что получится?

∫dX = ?

Это означает, что мы неизвестный «икс» разделили на маленькие кусочки, а потом снова собрали вместе. И тогда у нас снова получится целый неизвестный «икс», верно?

Совершенно верно! Запишем это на доске:

∫dX = X

Читается это так: «интеграл дэ икс равен икс».

А теперь раскрою секрет. Перед нами – одна из самых главных и основных формул той самой ужасной и кошмарной высшей математики.

Это как модель из конструктора – если разобрать, а потом снова собрать, то получается та же самая модель… Но какие задачи помогает решать эта формула?

Ну, например, одна из типичных задач высшей математики, точнее, математического анализа – измерение длины кривых линий. Измерять длину отрезка прямой все умеют – приложили линейку, посмотрели на деления, и всё понятно. А вот как измерить длину кривой линии? Изобретать кривую линейку? Так ведь все кривые линии разные, это сколько же разных линеек придётся изобретать? Вот тут-то и приходит на выручку наша формула.

Мы «разрезаем» нашу кривую на маленькие кусочки – настолько маленькие, что каждый из них в отдельности вполне похож на отрезок прямой, и может быть измерен обыкновенной линейкой. А потом снова «соберём вместе» наши результаты – и получим ответ на вопрос задачи!

Некоторые считают, что интегралы – изобретение современной математики. Однако на самом деле к понятию интеграла вплотную приблизился ещё великий древнегреческий математик Архимед. Его всегда очень интересовали задачи определения площадей и объёмов фигур. Допустим, мы можем указать простую и точную формулу для нахождения площади квадрата или объёма куба. Но что делать с фигурами более сложной формы? Тогда Архимед и высказал блестящую идею: скажем, если требуется определить объём мраморной статуи, можно раздробить её молотком на отдельные песчинки (эх, жалко статую, но чего не сделаешь ради науки!) – и, подсчитав количество песчинок, найти искомый объём.

Подобным же образом можно определить площадь плоской фигуры сложной формы – аккуратно засыплем её тонким слоем песчинок, а затем снова посчитаем их количество.

Этот приём – «разделить на песчинки (то есть мелкие части), измерить, а затем объединить результат» – Архимеду очень понравился. В дальнейшем он использовал различные варианты этого метода – например, при определении объёма не «разбивал» фигуры на отдельные песчинки, а «разрезал» на тонкие «слои». Однако общий смысл метода при этом не изменялся.

При помощи «метода песчинок» Архимед (первым в мире!) попробовал определить размер нашей Вселенной. Кроме того, он догадывался, что подобный способ решения задач может работать не только в пространстве, но и во времени – например, мы можем описать полёт стрелы, пущенной из лука, как некую «киноленту», содержащую все положения стрелы в каждый момент времени. Снова – «разделить, а затем объединить», только разделение уже происходит по времени…

К сожалению, для древнего мира идеи Архимеда оказались слишком сложными. На полторы тысячи лет понятие интеграла было забыто – пока этот замечательный способ решения задач не ввели в математику повторно Лейбниц и Ньютон в конце XVII века. Окончательное и строгое математически описание интеграла дали только в XIX веке учёные Риман и Лебег.

Ну, а теперь решение задачи про 12 хлебов

Если каждый мужчина несет по 2 хлеба, то мужчин не может быть больше пяти: 6 мужчин по 2 хлеба – это уже 12, тогда женщинам и детям ничего не достанется. Поэтому пусть мужчин будет 5.

Осталось 7 свободных мест из 12 человек и 2 хлеба (10 хлебов несут мужчины). Если все семеро оставшихся — дети, и каждый несет по четвертушке хлеба, то получится 7/4, то есть целый хлеб и три четверти. А нам нужно 2 хлеба, не хватает одной четвертинки. Уберем одного ребенка (минус четверть хлеба) и добавим одну женщину (плюс половина хлеба). Задача решена: шло 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

Правильно?