Теорема Пуанкаре в решении Гамильтона-Перельмана

Возвели в ранг «святого», называют величайшим математиком нового времени, решившим загадку тысячелетия. Отказ от премии в миллион долларов, отказ от общения с журналистами только подогревают интерес к этому человеку. Создаётся такое впечатление, что Григорий Перельман на ровном месте нашел решение гипотезы Пуанкаре, что до него никто проблемой не занимался. Подобно тому, как А. Эйнштейн в 1905 году создал теорию относительности на пустом месте, без предшественников. Имя Анри Пуанкаре в первой работе по СТО Эйнштейна даже не упоминается, хотя именно Пуанкаре заложил основы теории инвариантности, и указал на фундаментальную роль постоянной скорости света в физической картине мира. Мне захотелось немного разобраться во всей этой истории с теоремой Пуанкаре, уж больно она напоминает историю с теорией относительности.      

   Мы привыкли к тому, что ответы на вопросы физики нам помогает находить математика. В случае с гипотезой Пуанкаре произошло наоборот: физика помогает математике. Дело касается геометрии нашего физического пространства, его топологии. Какова форма пространства? В 1904 году Пуанкаре опубликовал работу, в которой имелась гипотеза: «Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». Понять это несложно. Представьте, что у нас в руках имеется круглый воздушный шар. Давление воздуха в нём и делает его круглым, сферичным (хотя, форма шара может зависеть и от формы оболочки). Этот шар мы может деформировать, сжимать, растягивать и даже закручивать (насколько позволяет крепость оболочки). Можем указательным пальцем левой и правой руки продавливать шар так, чтобы противоположные стенки шара сомкнулись (но не порвались). Как только мы прекратим силовое воздействие, шар снова примет форму сферы. Односвязность пространства, о которой говорит Пуанкаре, означает, что в этом пространстве нет разрывов в любом из направлений. Система условных точек пространства целостна, нигде не прерывается, даже если мы будет всяко деформировать, изгибать пространство. Но как только мы нарушим целостность оболочки – образуется край, разрыв; теперь, как не бейся, сферичности пространства уже не будет. Разрыв создаёт условия новой формы топологии пространства, где шар становится тором, бубликом. Переформатировать его в сферу уже невозможно. Надо устранять разрыв, края. Есть такое понятие гомеоморфизм, иначе – похожая форма. Так вот сфера и куб – топологически эквивалентны, гомеоморфны; одно может стать другим. Бублик и  кружка с ручкой тоже гомеоморфны. Но вот куб и кружка с ручкой – не гомеоморфны, одно не может стать другим.      

   Какова реальная форма нашего физического пространства? Вопрос кажется странным. Ведь если хлопнуть в ладоши посреди большой пустой комнаты, то звуковая волна достигнет всех пределов комнаты одновременно. Точно также и со светом, со взрывом. Это говорит об изотропности пространства, о равнозначности всех его направлений. Однако Пуанкаре подобный вопрос не казался таким простым, тем более, если он касался пространства нашей вселенной. О том, что пространство вселенной на больших удалениях от Земли может быть совсем не прямолинейным, гладким, изотропным, указал ещё английский математик Вильям Клиффорд во второй половине девятнадцатого века. С ним был согласен и немецкий математик Бернхард Риман. Тогда большую известность среди учёных получила неевклидова геометрия Лобачевского. Но как узнать и проверить геометрию физического пространства? Дело в том, что эту чисто математическую задачу нельзя решить средствами математики. Это всё равно что человеку поднять себя за волосы. Решить проблему здесь может только физика, потому что реальное пространство вселенной не является абстрактной математической пустотой, оно материально. И в этом соль вопроса. Постоянство скорости света говорит о том, что волновые фотоны перемещаются в среде с набором своих физических свойств. В среде движутся и гравитационные волны, что недавно было обнаружено. Большие массы изменяют вокруг себя состояние среды, что сказывается на траектории световых лучей, проходящих рядом. Опыты на БАКе в 2012 году по обнаружению бозона Хиггса подтвердили существование поля квантовых флуктуаций в физическом вакууме. Поле квантового вакуума – хиггсовский конденсат, безбрежный океан энергии вакуумных флуктуаций. Так что, как ни крути, но реальное физическое пространство не может быть геометрической пустотой.         

   В 2010 году Григорию Перельману за доказательство гипотезы Пуанкаре была присуждена премия Клэя в размере одного миллиона долларов. Но учёный от премии отказался. Свой поступок он мотивировал так: «Если говорить коротко, то главная причина – это несогласие с математическим  сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой». Речь идёт о Ричарде Гамильтоне, математике, профессоре Колумбийского университета, с которым у Перельмана был довольно продолжительный период общения, когда Перельман жил и работал в США в девяностых годах прошлого века. Гамильтон добродушно и откровенно говорил с ним о гипотезе Пуанкаре, о своих наработках по этой теме. В их разговорах Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации. Однако у американского учёного возникли сложности с решением гипотезы Пуанкаре. Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Перельман знал об этой проблеме у Гамильтона. Вернувшись из Америки в Россию в 1996 году, он в течение нескольких лет нашел выход из тупика. Ему удалось нейтрализовать образование таких зон сингулярностей, и многообразие благополучно превратилось в сферу (поясню ниже). Иначе говоря, Перельман лишь завершил тот путь, который благополучно начал и довёл до критической точки Гамильтон. Профессору Ричарду Гамильтону, быть может, из-за его загруженности преподавательской деятельностью просто не хватило времени и сил собраться и разбить орех. И у Гамильтона не было той великой школы советских математиков, которую прошел Перельман. Но надо отдать должное Перельману, который всё же оценил большой вклад Гамильтона в решение теоремы Пуанкаре. Премию Клэя, как полагал Перельман, они должны были поделить поровну.

   Как только в решении чисто математической задачи начинают использоваться представления о движении, о динамике – всё, здесь кончается чистая математика и начинается физика! Ключевой момент в решении теоремы Пуанкаре – потоки Риччи. Именно потоки Риччи перераспределяют положительную (выгнутая кривизна) и отрицательную (вогнутая кривизна) кривизну на произвольной замкнутой трёхмерной поверхности, приводя её к эвклидовой сфере. Вспомним наш воздушный шар. Но в шаре есть давление! Потоки Риччи описываются нелинейным аналогом уравнения теплопроводности, где горб графика отражает распределение температур во времени и в пространстве вокруг нагретого тела. Этот горб графика ещё называют тензором кривизны Риччи, деформацией римановой метрики на многообразии. А по существу, тут мы имеем дело с градиентом, с разностью! В случае теплопроводности – с градиентом температур вокруг нагретого тела. В случае с физическим пространством теоремы Пуанкаре – с градиентом давлений и плотностей среды квантового вакуума вокруг массивного тела. И ведь не случайно тензор кривизны Риччи стал членом уравнения в теории гравитационного поля Гильберта-Эйнштейна. На самом деле тензор кривизны Риччи говорит о градиенте, о разности плотностей и давлений среды физического вакуума вокруг массивного тела! Этот градиент и есть гравитационное поле. Среда квантового физического вакуума (читай – физическое пространство) – среда с колоссальным давлением и плотностью, с давлением, подобным давлению в воздушном шаре, только в тысячи раз больше. И как бы ни мяли это пространство, не деформировали гигантскими массами, – оно всегда будет восстанавливать свою форму. Именно это давление обусловливает сферическую форму всех больших космических тел, прошедших жидкую стадию расплавленной массы. Можно сказать и так, по-простому: давление пространства «круглит себя», и в своей среде делает сферической, круглой любую жидкую или аморфную массу. Вот почему все звёзды и большие планеты имеют круглую форму.         

   Григорию Перельману удалось избежать сингулярностей при доказательстве теоремы Пуанкаре довольно хитрым способом. А именно, использованием потоков Риччи «с хирургией». Сингулярные зоны просто вырезались. А то, что вырезалось, объявлялось имеющим сферическую форму. Дырки в пространствах склеивались. Таким образом, разрывности пространства как бы и нет; а в итоге пространство обретало сферическую эвклидову форму. Не знаю, как вам, но мне такое решение с хирургией как-то не очень. Однако учёный мир такой приём Перельмана поддержал и одобрил. Тем более что сингулярности в квантовой теории поля отравляют жизнь учёным много десятилетий подряд. Приёмы борьбы с сингулярностями известны давно – обрезание и перенормировка. Но эти приёмы всё равно выглядят искусственными и спекулятивными. Трудно представить себе Господа Бога, как хирурга, со скальпелем в руке, и ведущим, к тому же, двойную бухгалтерию! Нет, у природы есть свои естественные механизмы обрезания, без надуманных приёмов. Что касается квантовой теории поля, то естественный механизм обрезания заключён в квантовой колебательной динамике дыхания вакуума. Здесь нет застывшей точки сингулярности с бесконечным или конечным значением энергии. Здесь сингулярность – только как фаза в колебании, фаза сжатия элементов поля до некоторого предела, которая переходит в противоположную  фазу – фазу расширения, и тоже до некоторого предела, подобно колебаниям в цепочке связанных осцилляторов. Горловина так называемой кротовой норы и есть фаза сжатия, где достигается предел сжимающего давления, а далее идёт расширение, где сила давления направлена в противоположную сторону. А в целом соблюдается принцип неразрывности.         

   Ну и в заключение сделаю одно замечание от себя, показывающее не столько драматизм судеб учёных, сколько трагикомизм. Теорема Пуанкаре имеет важное значение для науки, для понимания мира, в котором живём. Но она не имеет того практического, прикладного значения для повседневной жизни людей, общества, для развития технологий, какое имеет открытие причины атомной и ядерной периодичности химических элементов, сделанное мной 37 лет назад. Это открытие во много раз важнее для науки, чем доказательство теоремы Пуанкаре. Был бы жив Пуанкаре – он бы со мной согласился. Но между тем, никакого ажиотажа, истерии по этому поводу в научном мире нет. Люди в упор не хотят видеть очевидного! Отказываются видеть. Причины? Они известны…