Математическое наследие Эвариста Галуа. Математическая симметрия, преобразования, перестановки

Если перенести их решение из привычной области математики, где существует проблемы в решениях, в область более глубоких абстрактных рассуждений.

Гений Эвариста Галуа- перенос решения сложных задач по математике в область глубокого абстрактного мышления. Абстрактное мышление человека происходит в неокортексе- самой большой части мозга человека, покрывающий два полушария головного мозга

Такой подход дает новые возможности не только в математике, но и в физике. Эварист Галуа нашел метод, позволивший стать математике не только наукой о числах и формах — арифметикой, геометрией или таких как алгебра и тригонометрия, но и наукой о математических структурах.

Эварист Галуа заслуженно считается основателем теории групп и абстрактной алгебры, его метод основан на описании(исчислении) СИММЕТРИИ в математических структурах. Сегодня «теория групп» используется во всей чистой и прикладной математике, а в физике отвечает за формирование основных фундаментальных закономерностей. Идея симметрии— лежит в основе современного научного понимания вселенной и ее развития. Симметрия играет фундаментальную роль в современной физике – возможно принцип симметрии может проложить путь к будущей «Теории всего», то есть математическому объединению двух основных направлений в современной физике – квантовой теории и теории относительности. Симметрия сохраняет законы физики -они должны оставаться неизменными/инвариантными во всех точках пространства и с течением времени — законы природы должны быть симметричны относительно движений в пространстве и во времени. Еще, симметрия, позволяет математически преобразовать физический объект в другой и такое преобразование также оставляет законы физики неизменными»

Что же такое симметрия в математике? Симметрия – это не число и не форма, это специальный вид преобразований, в основе которых лежит принцип сохранения при изменениях. Симметрия некоторого математического объекта — это преобразование, которое сохраняет/не изменяет структуру этого объекта. Очень важно запомнить следующее — симметрия содержит в себе три фундаментальных понятия:

1. Структура;
2. Преобразование;
3. Сохранение.

Говоря строгим математическим языком симметрия математического объекта — это математический автоморфизм — это отображение объекта на себя, сохраняющее все его математические свойства.

Рассмотрим проявление симметрии на примере равностороннего треугольника — простого математического объекта. У такого треугольника по определению все три стороны имеют одинаковую длину (равны между собой) и все три угла имеют одно и то же значение, а именно 60°.

Свойства равностороннего треугольника не позволяют отличить одну сторону от другой, углы также неразличимы. Невозможность найти отличия одной стороны от другой или один угол от другого является проявлением симметрии равностороннего треугольника. Эти математические свойства треугольника формируют его структуру.

• Структура — структура нашего треугольника состоит из математических свойств: у него три стороны, стороны — прямые и равные линии, углы — одинаковые
• Преобразование — это воздействие на математический объект, в данном случае на равносторонний треугольник, которое дает возможность сделать что-либо с этим объектом, т.е. с нашим треугольником.

Понятно, что имеются разные варианты воздействия/преобразования на треугольник: согнуть его, повернуть на некоторый угол, смять его, растянуть, как если бы он был сделан из резины и т.п.

Важный момент- нужно определить что стало со структурой объекта после преобразования. Сохранилась ли она или произошли ее изменения? Т.е. сохранились или изменились математические свойства объекта в результате преобразования? Если структура, т.е. математические свойства не изменились после преобразования, то в этом случае симметрия не теряется, т.к. объект обладает свойством сохранения.

• Сохранение — структура преобразованного объекта должна соответствовать структуре исходного. Или говоря по-другому- невозможность найти никакие отличия между исходной структурой и структурой преобразованного объекта. Это важно понять и запомнить.

Преобразованный треугольник должен также иметь три стороны, стороны должны оставаться прямыми и равными, углы должны быть одинаковыми. Очень важно понимать — не любые воздействия на наш треугольник, т.е. не все преобразования с нашим треугольником могут быть симметрией.

Введем понятие «перестановка».

• Перестановка — это способ переупорядочить некоторый первоначальный порядок/список .

Самый простой пример перестановки — это перетасовка колоды карт. В случае с треугольником, перестановка — это некоторые действия с треугольником, например, его повороты на плоскости и вращение вокруг осей.

Рассмотрим сохранение математической структуры при повороте равностороннего треугольника на некоторый угол , например, поворотом треугольника на плоскости, условно на плоскости стола. Поворот треугольника на некоторый угол не всё изменяет из его математической структуры — он по-прежнему будет выглядеть как треугольник. У него будут три стороны, стороны прямые и их длины не изменятся. Но, положение вершин и сторон треугольника на плоскости может оказаться иным, в зависимости от угла, на который его повернули. Это не будет симметрией, т.к. не будет сохранена математическая структура (форма и положение вершин и сторон треугольника)

Если повернуть треугольник, например, на прямой угол, то результат будет отличаться от первоначального. Стороны и вершины треугольника будут расположены уже в других местах на плоскости. Такое расположение сторон и вершин треугольника позволяет определить что треугольник был повернут.

Если повернуть треугольник на 120° — мы не сможем определить никакой разницы между «было» и «стало» — повернутый треугольник выглядит в точности как исходный. Другими словами, поворот на 120° есть симметрия равностороннего треугольника. Такое преобразование (поворот треугольника на 120° ) сохраняет его изначальную математическую структуру — форму и расположение его вершин и сторон на плоскости. Аналогично для поворота на 240°. Каков итог из этого? А итог очень важный.

• Не всякий угол поворота треугольника (не всякое преобразование) сохраняет его начальную математическую структуру (форму и положение).
• Из всех возможных углов поворота равностороннего треугольника на плоскости, существуют только ЧЕТЫРЕ угла поворота, которые не нарушают/сохраняют его структуру: 0°;120°; 240°; 360°

Почему поворот треугольника на 0° сохраняет структуру? Потому, что поворот на 0°- это тоже угол поворота. Поворот треугольника на 0° означает то, что треугольник находится в покое. Если ничего не делать, то ничего и не меняется. Результат поворота на 0° удовлетворяет определению сохранения структуры. Аналогично и для угла поворота треугольника на 360°. Если повернуть треугольник на 360°, то все вернется в точности туда, где и было.

Обозначим символами a, b и c вершины исходного равностороннего треугольника. Комбинацию вида abc — определим как первоначальный порядок символов вершин треугольника.

Рассмотрим три преобразования путем поворота на плоскости вращения, например, вращением треугольника против часовой стрелки на плоскости стола:

1. Поворот против часовой стрелки на 0° или 360°, образуется новый порядок символов — abc.

2. Поворот треугольника против часовой стрелки на угол 120°. Первоначальный порядок символов вершин abc переходит в новый порядок bca.

3. Поворот треугольника против часовой стрелки на угол 240° — порядок abc переходит в новый порядок cab.

Аналогично повороту треугольника на плоскости рассмотрим преобразования связанные с вращением треугольника вокруг его соответствующих осей сохраняющие его симметрию:

1. При половине оборота (180°)по оси b, образуется новый порядок символов- cab.

2. При половине оборота (180°) по оси с, образуется новый порядок символов — bac.

3. При половине оборота (180°) по оси a, новый порядок символов будет acb.

В итоге мы получили ШЕСТЬ различных перестановок первоначальных символов abc, ШЕСТЬ СИММЕТРИЙ, которые дают шесть разных комбинаций символов: abc, bca, cab и cba, bac, acb.

Три перестановки путем поворота треугольника на плоскости: abc, bca, cab Три перестановки путем поворота треугольника по соответствующим осям: cba, bac, acb.

Обозначим каждую перестановку своим именем: I = abc, R = acb, Q = bac, V = bca, U = cab и P = cba. Каждая такая перестановка это и есть симметрия, т.о. мы получили шесть симметрий. Первая симметрия I — это единичная симметрия; две другие симметрии U и V — повороты треугольника на плоскости , а три другие симметрии P, Q и R-отражения треугольника — вращение треугольника на пол-оборота вокруг его осей.

Цветные углы треугольника необходимы только для понимания того, как проходит преобразование треугольника, но они не являются частью его структуры.