Главное школьное заблуждение: дифференциал и производная — это не одно и то же

Начнем, как водится, с графика, на котором отразим график гладкой функции и касательную к нему в произвольной точке:

«Сжимая» приращение аргумента ∆х, мы тем самым уменьшаем приращение функции ∆y, а затем находим их частное в пределе. Таким образом мы получаем классическое определение производной функции в точке (о геометрическом смыслах я писал в этом материале):

Но где же здесь дифференциал? Давайте внимательно посмотрим на то, из чего состоит приращение значения функции при измении её аргумента. Очевидно, что состоит оно из двух особенных частей:

Чтобы понять, что есть что на этом рисунке, мы немного преобразуем формулу производной:

Уйдя от предела в формуле, мы заменяем его, добавив некоторую погрешность «эпсилон».

Вернемся на прошлый рисунок:

Оказывается, что наиболее интересной частью приращения функции, является её приращение относительно касательной, обозначенное зеленым цветом. Почему самая интересная? Дело в том, что при устремлении приращения аргумента к нулю, мы получим фактически формулу производной.

В какой-то степени эта интересная часть — линейная часть приращения функция — порождает производную. Ей и дано название дифференциал и соответствующее обозначение:

Напротив, ошибка эпсилон может быть нелинейной

Здесь требует пояснения, что мы определили дифференциал функции, но по аналогии можно пытаться найти и дифференциал аргумента. К счастью, здесь всё просто: всё приращение аргумента находится под касательной, поэтому:

А вот и еще одна формула для производной!

Теперь обратимся к самому просто применению дифференциала — приближенным вычислениям. Немного преобразовав последнюю формулу, получим замечательное приближенное равенство:

Теперь давайте что-нибудь вычислим! Например, значение функции в некоторой точке:

Вопросы абсолютной и относительной погрешности пока оставим в стороне. Спасибо за внимание!