Великий метод Ньютона, который помогает решить практически любое уравнение

Если для алгебраических уравнений до пятой степени мы всегда можем вывести общую формулу (спасибо Виету, Кардано и Феррари), то уравнения выше пятой включительно уже в общем виде не обязаны выражаться через привычные пять математических операций (четыре арифметических и извлечение корня).

Так себе формула, учитывая необходимость приведения произвольного кубического уравнения к указанному виду.

А уж когда речь идёт об уравнениях, включающих трансцендентные выражения (тригонометрические функции, логарифмы), точное решение порой становится невозможным. К счастью в арсенале вычислительной математики есть большое количество приближенных методов решения уравнений, об одном из которых я Вам сегодня расскажу. Итак, поехали!

Метод носит имя Исаака Ньютона — основоположника дифференциального счисления, поэтому легко понять, что без производной в нём не обойтись. Представим, что мы знаем график функции и примерно представляем область оси ординат, в которой она её пересекает:

Проведем через некоторую близкую к корню уравнения точку касательную и зафиксируем точку её пересечения с осью ординат. Что мы можем сказать, основываясь на определении производной в точке, как тангенса угла касательной к графику функции?

Мы нашли координаты следующей точки. Что будет, если повторить этот алгоритм еще раз, еще раз…?

Ордината нашей точки будет неограниченно (это показал Ньютон) с каждой новой итерацией приближаться (как будто по спирали) к точке , которая и является корнем нашего уравнения! В этом и состоит метод Ньютона, давайте попробуем на реальном уравнении!

От первоначальной оценки зависит очень много, поэтому уравнение можно записать в виде, упрощающем построение графика. Итак, пусть область нахождения корня ограничена указанным отрезком. Начнем вычисления с тем расчетом, чтобы добиться точно в три знака после запятой:

Справа мы считаем модуль погрешности. Напоминаю, что мы три знака после запятой соответствуют погрешности менее 0,001. Продолжаем аналогичные вычисления до достижения нужного результата:

Таким образом, нам понадобилось шесть шагов, чтобы найти корень исходного уравнения с требуемой точностью. Проверку можно произвести посредством ЭВМ:

Метод Ньютона, в отличии от метода половинных отрезков обладает квадратичной сходимостью: с каждым следующим шагом число верных значащих разрядов будет увеличиваться примерно в соотношении 1:2:4:8 и т.д., но для этого нужно сразу задаваться требуемым количеством знаков после запятой для округления и более точным начальным значением.