Философия и математика

Математика — противоположность гуманитарных наук, и к ней тоже не так уж много людей питает теплые чувства. Казалось бы, что в них общего?

На самом деле, достаточно много. Современная философия охотно использует математические инструменты, чтобы формализовать различные подходы и системы понятий. Матрицы, уравнения и вот это всё. Да ещё и на тему непрактичной на первой взгляд философии. Это звучит страшно скучно.

Однако, изучение основы этих двух дисциплин может помочь сформировать критическое восприятие мира и потому их очень важно понимать, даже если математиком или философом вы быть никогда не собираетесь. Так что же в них общего?

Философия и математика работают с упрощенными версиями реальности — моделями.

И философия, и математика пытаются описать мир. Математика, тесно сплетенная с логикой, позволяет находить решения проблем, разбираясь в сути явлений. Философия же занимается определением того, какие проблемы стоит решать в первую очередь.

Давайте рискнем нырнуть в мир математики, чтобы разобраться в этом детально. Вот, например, уравнение:

Классическая зависимость одной переменной от другой. Посмотрим, что из этого выйдет

Итак, мы видим формулу, в которой мы можем углядеть сумму слагаемых. Каждое слагаемое имеет своё значение, при котором оно становится очень большим (стремится к бесконечности), и чем дальше от этого значения, тем меньше его вклад в общую сумму.

Например, при х = 1, знаменатель первого слагаемого вблизи этого значения превращается в ноль, а значит значение самого слагаемого стремится к бесконечности. При том же самом значении остальные слагаемые равны — 1/9, -1/99 и -1/999, а значит ничтожно малы в сравнении с первым. Если бы мы сравнивали значение этого выражения с другой бесконечностью, конечные прибавки стоило бы отбросить — они бы всё равно ничего не поменяли. Нетрудно посчитать, что схожие ситуации возникнут в случае, если х будет близок к 10, 100 и 1000.

К этому моменту у вас должен возникнуть логичный вопрос: а причём тут философия, черт подери?! Мы потратили свой драгоценный вычислительный ресурс на анализ совершенно абстрактного уравнения и ни философией, ни практичностью тут не пахнет!

Что ж, сейчас всё прояснится.

Вводим в задачу дополнительное условие: х находится в диапазоне между 3 и 9. Вместе с условием возникает вопрос: какое слагаемое будет вносить наибольший вклад, а какое наименьший?

Мы уже знаем, что чем ближе х к какому-либо числу под знаменателем, тем больше соответствующий элемент выражения и тем больший вклад он вносит в общую сумму. В нашем случае х находится между 1 и 10, а середина промежутка от 3 до 9 находится на отметке 6. 6 ближе к 10, чем к 1, а потому высший приоритет получает второе слагаемое, следующий — первое. Третье слагаемое крайне мало в данном диапазоне х, а четвертое тем более, и их вкладом часто мы можем пренебречь.

Соответственно, мы получаем список слагаемых в порядке важности

1. Второе слагаемое

2. Первое слагаемое

3. Третье слагаемое

4. Четвертое слагаемое

Ничего не напоминает? Правильно, айсберг актуальных потребностей, только в крайне специфическом виде.

В данном случае он помогает расставить приоритеты при вычислении значения, если, например, нам нужно считать это значение много раз и точность до третьего знака нам не очень-то важна. В таком случае мы можем отбросить последнее слагаемое и наша модель превратится в следующую:

Модель потеряла в точности, но стала проще и приятнее для восприятия

Если же нам важно значение лишь первого знака после запятой, мы можем отказаться от третьего слагаемого тоже. Так теряется точность, но количество вычислительных операций снижается ещё на 2. В ситуациях, где важнее скорость счёта такая модель будет полезнее

Наиболее простая модель (или стратегия счёта) при заданных условиях.

Что ж, давайте подытожим.

Математика и философия служат в конечном счёте одной цели — разработке моделей, то есть упрощенных версий самых разных явлений. Математика даёт инструментарий формализовать и проанализировать модель, а философия ставит ограничения, причем ультимативным путём (можно, конечно, найти логику в этих ограничениях, но в рамках модели эти ограничения принимаются как данность).

Иначе говоря, философия ставит рамки моделям, ограничивая их и позволяя расставлять приоритеты между различными её элементами. В конечном счёте, именно эти рамки приводят нас к окончательному выбору стратегии. Математика способна дать логику, по которой будет меняться значение модели, но философия определяет конкретику, с которой нам придётся реально работать.

Именно философия делает математику из абстрактного языка практичным инструментом, а математика позволяет точно визуализировать последствия выбора определенной философии. Вот почему полезно изучать эти дисциплины совместно.