Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

Даже искушенный Читатель в первую очередь назовёт формулу Муавра, которая позволяет нам с легкостью возводить в степень комплексные числа:

Так же можно вспомнить основное тригонометрическое тождество, куда же без него…

Можно, конечно, вспомнить еще и тригонометрические теоремы из геометрии, например, теорему тангенсов или теорему косинусов для четырехугольника, но это всё не то.

Этого импозантного мужчину зовут Бартомелиус Питискус — именно он предложит называть предмет сегодняшнего обсуждения «тригонометрией».

Сегодня я покажу истинную и удивительную красоту, с помощью которой очень просто решаются, в т.ч., и серьезные олимпиадные задачи.

Но сначала нам необходимо заметить некую закономерность в знакомых нам со школы формулах. Итак, надеюсь, все помнят формулу синуса двойного угла:

Единственный новый момент заключается, что по мы представим косинус по формулам приведения, как синус.

Продолжаем. Записываем теперь формулу синуса тройного угла:

Во второй строчке избавляемся от квадрата синуса, но неизбежно получаем косинус двойного угла. Между тем, напомню, что мы всё так же пытаемся избавиться от косинусов в итоговой формуле.

Ответ приходит неожиданно: а что, если представить в тригонометрическом виде число -1/2? Сказано — сделано:

Скобки в правой части принимают вид формулы разности косинусов:

После первой итерации преобразований получаем:

Осталось сделать кое-что еще: воспользоваться базовым свойством синуса:

В итоге получаем формулу синуса тройного угла, выраженную только через синусы одиночного аргумента:

И так далее…можно продолжить вычисления для четверного угла, но это будет уже немного объемнее. Тем не менее, результат будет именно такой, как и ожидается:

Тенденция при увеличении кратности углов не изменится. С помощью метода математической индукции, можно вывести итоговую формулу, в красоте которой просто грех сомневаться:

Надеюсь, что Вас, как и меня искренне восхитила эта формула.