Числа Маркова. Между хаосом и порядком

Последовательности случайных событий, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии.

Однако сегодня мы поговорим о его менее известном открытии, связанном с исследованием решений в целых числах следующего диофантова уравнения:

Решений уравнения Маркова — бесконечное количество, и все они получаются по очень простой формуле (впрочем, вывод её достаточно объемный. В её основе лежит первое приходящее на ум тривиальное решение:

Тогда остальные решения выводятся по формуле:

В результате чего перестановкой получаются следующие тройки чисел:

Каноничной из них считается та, в которой числа упорядочены по возрастанию, т.е. последняя, которая и называется марковской тройкой. Теперь фиксируем первое значение и вычисляем следующую тройку:

Дальше есть два пути (забегая вперед, в остальных марковских тройках нет повторяющихся значений). В первом случае мы меняем местами q и r, во втором — p и r. Схематично вычисление выглядит так:

Естественно, всё упорядочиваем

Все возможные марковские тройки, как Вы могли догадаться, целиком и полностью состоят из марковских чисел. Первые из них (всего их бесконечное количество):

Если продолжать процесс ветвления для каждой марковской тройки, получим дерево:

Обратите внимание на выделенные красным цветом числа — это нечетные члены последовательности Фибоначчи! Выделенные зеленым цветом — т.н. числа Пелля, получаемые при решении одноименного уравнения.

Формула для вычисления чисел Пелля. Аналогичная существует и для чисел Фибоначчи

Наивно думать, что Марков в теории чисел изучал всего лишь одно конкретное уравнение. Наоборот, его числа родились во время исследования целой математической области — т.н. квадратичных форм, где Марков выделил специальные формы (второй столбец):

В данной таблице марковские тройки не упорядочены по возрастанию. Запомните числа справа — в них знаменатели — числа Маркова, а числители — дискриминанты указанных квадратичных форм. Q — старший коэффициент квадратичной формы

Если попытаться вычислить значение последней дроби, оно будет равным примерно 2.9999. Марков показал, что эта величина стремится к 3. Прелюдия закончена. Начинается математическая магия.

Приближения иррациональных чисел

Удивительно, но числа Маркова проявляются в теории приближения иррациональных чисел рациональными дробями:

Это утверждение означает, что всякое иррациональное число α можно приблизить рациональной дробью p/q с требуемой точностью, которая зависит только от знаменателя q. Например:

Т.е., выбирая q=10 мы получили приближение с погрешностью меньше 5 %, а наилучшее приближение числа π в данном случае — это дробь 31/10. А что будет если взять другие значения q? Оказывается, прямой зависимости в уменьшении погрешности нет:

Т.е. наметившееся уменьшение погрешности в дребезги разбивается, например, при q=125, где наилучшее приближение хуже, чем при меньших значениях знаменателя. Напрашивается вывод, что не все q подходят для того, что наилучшим образом приближать иррациональные числа, да и вообще в правой части может быть не такое простое выражение.

Немецкий математик Адольф Гурвиц показал, что некоторые иррациональные числа можно приближать точнее и точнее, если использовать в качестве дроби справа следующие выражения:

Где-то мы эти числа уже видели только в перевернутом виде…

В 1921 году математик Оскар Перрон нашел ключ, который наконец связал числа Маркова с коэффициентами наилучшего приближения иррациональных чисел:

Т.н. числа Лагранжа

Как видите, числа Маркова являются собой замечательную, скрытую от невооруженного глаза, связь непрерывного (квадратичных форм) и дискретного (рациональных приближений). Этим и прекрасна математика!