Треугольник Рёло — круглый квадрат или квадратный круг? Одна из самых экстремальных фигур на плоскости

Итак, чтобы построить треугольник Рёло Вам понадобится только циркуль (даже линейка не нужна). Устанавливаете раствор и проводите окружность. Затем ставите циркуль на любую точку и проводите еще одну. После этого ставите циркуль в одну из двух точек пересечения окружностей и проводите третью. Вот, что должно у Вас получится:

Самое главное его свойство — это фигура постоянной ширины наряду, например, с окружностью. Чтобы понять, что такое постоянная ширина необходимо знать понятие опорных прямых.

Опорная прямая — это прямая, содержащая точку фигуры, но не разделяющая никакие две точки на ней. На рисунке выше проведены три пары опорных прямых, расстояние между которыми как раз и равно постоянной ширине треугольника Рёло.

Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло имеет минимальную площадь (окружность, кстати, максимальную).

Другое экстремальное свойство треугольника Рёло в том, что его углы при вершинах так же минимальны среди всех фигур с постоянной шириной. Посмотрите ни рисунок:

Проходя через точку а все опорные прямые (а их бесконечность) образуют т.н. пучок, угол между крайними положениями которого и равен углу при вершине треугольника Рёло — 120 градусов. Меньше на плоскости быть просто теоретически не может! Уж такая геометрия.

Однако самое поражающее воображение свойство треугольника Рёло — это возможность вписания его в квадрат с равной стороной! Посмотрите на эту анимацию:

Как видно, вращаясь, треугольник Рёло практически полностью повторяет контур квадрата, что позволяет на его основе делать, например, сверла, которые вырезает близкие к квадратам отверстия:

«Круглое тащим, квадратное катаем» — этот известный армейский принцип точно не подходит к треугольнику Рёло. Несмотря на углы, колеса такой формы хотя бы на небольших скоростях легко заменят обычные круглые:

Кроме всего прочего, треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах паровых двигателей, т.к. позволяет преобразовывать вращательное движение в возвратно-поступательное.

В специальном роторном двигателе Венкеля, треугольник позволяет выполнять сразу три цикла сгорания топлива в один такт:

Кстати, на данный момент даже есть один автомобиль с такого вида двигателем — это спорт-купе Мазда RX-8, но это — уже совсем другая история.