«Иллюстрация» теоремы Пуанкаре (о том, что ВСЁ … повторится!)

Если система имеет четко выраженную структуру и в ней царит порядок, то ее энтропия мала. Напротив, системы с высокой энтропией беспорядочны и хаотичны. Энтропию можно также связать с информацией: когда энтропия растет, информация утрачивается (если беспорядочно перемешать все буквы на данной странице, то информация, полученная читателем, устремляется к нулю). Второе начало термодинамики гласит, что энтропия Вселенной не может уменьшаться, т. е. порядок всегда стремиться уступить место беспорядку. Этот принцип хорошо знаком нам из повседневной практики: много труднее добиться высокой степени порядка, чем разрушить его.

Чем более упорядочено состояние системы, тем меньше разных возможностей выбора. Состояния с высокой степенью беспорядка (высокой энтропией) реализуются гораздо большим числом способов. Здесь можно провести аналогию с колодой карт, которую начинают беспорядочно тасовать, после чего шансы увидеть карты разложенными по старшинству мастей становятся безнадежно малыми. Таким образом, система, предоставленная самой себе из произвольного начального состояния, устремляется к состоянию, при котором царит наибольший беспорядок (энтропия максимальна) – просто это наиболее вероятная ситуация.

На нашем рисунке представлена Пирамида делителей (её вершина), которая уходит вниз до бесконечности. Все делители числа N – это черные клетки с белым числом d (является делителем N) в горизонтальной строке (справа от числа N). Любой чёрный камень Пирамиды (делитель d) впервые появляется у числа N = d, а затем такой камень («массой» d) повторится бесконечное количество раз вертикально вниз с шагом равным d, и это – весь алгоритм построения Пирамиды (проще этого – уже не придумать). Причем данный алгоритм – абсолютно «железобетонное» правило, здесь нет ни малейшего места случайности (Его Величеству Случаю, беспорядку, хаосу).

Однако, чем выше Пирамида (по мере роста N) – тем нам всё труднее и труднее предсказать («нарисовать») какие именно будут делители (d) у конкретного числа N. Более того, ряд законов, описывающих свойства больших чисел (N >> 1) предстают перед нами в виде закона экспоненциального роста (который является, образно говоря, «лакмусовой бумажкой» сугубо случайных процессов). Пусть простое число Р ~ 10^61 – порядка этого количества планковских времен содержится в возрасте Вселенной (13,8 млрд лет), и пусть данное старшее простое Р порождает гипербольшое м-число (М), что весьма точно описывается именно экспоненциальной функцией (экспонентой): М ~ ℮^P.

Короче говоря, нам просто удобно полагать, что очень высокая Пирамида (с мириадами чёрных камней d) – это система с высокой степенью беспорядка (высокой энтропией).

А теперь, внимание! Строго говоря, в принципе энтропия в природе (а также и в нашей Пирамиде!) может … убывать, а хаотическое распределение молекул газа может самопроизвольно приобрести некоторую структуру, упорядочиться (скажем, все молекулы кислорода сами по себе соберутся в … одну кучку в форточке окна вашей комнаты). Это следует из удивительной теоремы Пуанкаре[1], одно из следствий которой можно перефразировать так: все что может произойти в полностью изолированной системе, произойдет и притом бесконечное число раз! Ещё пример: сгоревшая спичка в принципе может сама по себе превратится в целую. Правда, так называемый период возврата Пуанкаре по весьма заниженной оценке равен 10^X, где X – число частиц, из которых составлена данная система. Мир, окружающий человека, можно оценить как X ~10^26 атомов, а если взять все звезды, доступные современным оптическим телескопам, то количество атомов в них оценивается как X~10^80. Вот почему, хотя у Пуанкаре чудеса (как своего рода крупные флуктуации) возможны, но они более редки, чем мы в состоянии себе представить, на практике такие события крайне невероятны, а рост энтропии (увеличение хаоса) практически гарантирован.

При этом наше гиперчисло М ~ ℮^P = 10^(P/ln10) является своеобразным доказательством (или наилучшей «иллюстрацией») теоремы Пуанкаре. [с колоссальным периодом возврата порядка 10^(P/ln10), где Р ~ 10^61]. Поскольку у нашего гиперчисла (с бездной делителей) первые Р его делителей (d) – это копия начала натурального ряда: d = 1, 2, 3, 4, …, Р, то есть копия количества планковских времен в возрасте нашей Вселенной. Иначе говоря, наше гиперчисло М – это размер наименьшей и простейшей математической «модели» Метавселенной (Мультивселенной), содержащей копию нашей Вселенной (которую характеризует старшее простое число Р ~ 10^61).

Более подробно (и, надеюсь, более интересно) про гипербольшие м-числа (М), а также про два (радикально разных) «времени» в мире натуральных чисел (как наипростейших «моделей» двух ипостасей полного тайн физического Времени во Вселенной).

08.03.2023, Санкт-Петербург

© А. В. Исаев, 2023

[1] Жюль Анри́ Пуанкаре́ (1854 – 1912) — французский математик, механик, физик, астроном и философ. Историки причисляют Анри Пуанкаре к величайшим математикам всех времён. Он считается, наряду с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени. Его перу принадлежат более 500 статей и книг. Именно Пуанкаре создал математические основы теории относительности (откуда родилась и СТО Альберта Эйнштейна), а также обобщение принципа относительности на все физические явления.