Как парадокс про муравья и искажение пространства показал, что интуиция — плохой советчик?

Обычно его обсуждают при изучении математики, но нам он интересен ещё и по причине прекрасного сопоставления происходящего с искажением пространства-времени.

Муравей и Эйнштейн или наоборот

Начнем с самого парадокса. Он довольно прост.

Представьте себе резиновый шнур длиной 1 км. Муравей начинает ползти по нему со скоростью 1 см в секунду (относительно резины, по которой он ползет). При этом шнур начинает равномерно растягиваться с постоянной скоростью 1 км в секунду так, что через 1 секунду длина шнура составит 2 км, через 2 секунды — уже 3 км и так до бесконечности. Дойдёт ли муравей до конца шнура?

Сразу скажу, что ответы из серии «Вот ползёт букашка по Земле прогретой, заболела ляжка у букашки этой» не подходят. У муравья бесконечный запас энергии и времени. Сам не устаёт и да, пожар-мороз-сильный дождик ему не будут мешать. Случай, вроде как, идеальный.

Большая часть читателей скорее всего обратится к интуиции и (как кажется) к здравой математической логике. Если скорость муравья всего лишь 1 см/с, а скорость удлинения шнура составляет 1 км/с, то муравей никогда не сможет доползти. Ведь шнур удлиняется быстрее, чем ползёт муравей.

И кстати конкретные значения тут выбраны просто произвольно. Не нужно пытаться узнать реальную скорость муравья, так как она будет отличаться. Можете взять любое значение, главное, чтобы шнур растягивался быстрее, чем муравей ползёт.

Обладатели аналитического мышления и попытки подо всё подобрать аналогию наверняка уже почувствовали, что есть подвох. Представьте себе, что вы взяли кусочек обычной бельевой резинки. Или любой другой предмет, похожий на пружинистую веревку.

Нарисовали в центре такой веревки точку чёрным маркером и обозначали так ползущего муравья. Она ползёт медленнее, чем резинка тянется.

Теперь вы растягиваете эту резинку и видите, что точка в центре перемещается…вместе с растяжением шнура. Значит, если точка была по центру, то при растяжении она и осталась по центру.

Как полз муравей в центре, так он и ползёт в центре. И каждый раз при дальнейшем удлинении муравей, обозначенный точкой, будет оставаться в центре веревки, но при этом ещё и будет ползти вперед.

Значит, рано или поздно муравей доползёт до конца веревки.

Когда шнур удлиняется, то он растягивается на обоих своих концах. На самом деле он вытягивается не на километр, а только на 500 м вперед (и на 500 м назад), в то время как муравей перемещается вместе с ним на 500 м вперед + 1 см хода муравья. Там второй конец шнура будет прогрессивно уменьшаться и муравей всё ближе и ближе будет подбираться к краю. Если время и силы бесконечны, то муравей доползёт.

Ну и грех тут не сказать, что этот парадокс неплохо демонстрирует и идею расширения Вселенной. Я раньше постоянно приводил пример воздушного шарика, на котором нарисована сетка и использовал эту аналогию для демонстрации расширения пространства. Потом один умный человек в комментариях отметил, что точки этой сетки растягиваются вместе с материалов шарика, а значит не могут демонстрировать галактики. В случае со шнуром и муравьем всё значительно красивее.

Сам муравей сохраняет свои размеры и может демонстрировать галактики при расширении Вселенной. Кроме того вполне неплохо пример показывает и специфику поведения пространства в рассуждениях «околоэйнштейновских». Представить себе изменение параметров пространства можно как изменение параметров резинового шнура. Правда если размышлять тут о Лоренцовых искажениях, то там и сам объект попадает в изменение этих параметров, а отсюда и уменьшение в размерах при увеличении скорости, и подобное.