Экстремальная задача Герона, которая стала началом новой эпохи в физике и математике

Известным, прежде всего, за формулу площади треугольник.

Задача важная, так как является одной из первых экстремальных задач, дошедших до наших дней. Экстремальных — в том смысле, что в ней ставится вопрос об отыскании минимального значения некой величины, хотя в этот же класс входят и задачи на поиск максимумов. Итак, поехали!

Даны две точки A и B по одну сторону от прямой l. Требуется найти на l такую точку D, чтобы сумма расстояний от A до D и от B до D была наименьшей.

Считается, что эту задачу Герон Александрийский описал в своём труде «О зеркалах» в I веке нашей эры. К сожалению оригинала рукописи не сохранилось, поэтому черпалась в комментариях современников.

Решается эта задача на удивление просто, Для этого отразим точку B относительно прямой l и соединим получившуюся точку с

Почему это происходит, конечно, нужно доказать. Для этого рассмотрим на прямой любую другую отличную от D точку:

Теперь рассмотрим треугольник AB’D’ и заметим, что для точки D’ расстояния до B и B’ равны в силу симметричности. Тогда, используя неравенство треугольника найдем, что:

Т.е. для любой другой точки расстояние туда-обратно будет больше, чем для построенной по первоначальной схеме.

Что еще интересного даёт эта задача?

Самый, наверное, главный вывод в том, что равны углы падения и отражения.

Конечно, речь здесь идёт о чисто зеркальном отражении от идеально гладкой поверхности. Диффузионное рассеивание не рассматриваем.

А это уже предтеча для куда более глубоких выводов о природе мироздания в целом. Уверенность в этом закрепил Пьер Ферма (да, тот самый автор заметки на полях «Арифметики» Диофанта), когда вывел открытый Виллебордом Снелиусом закон преломления света, предполагая, что тот движется по наикратчайшей по времени траектории.

Конечно, есть еще и отраженный луч, не показанный на рисунке. n — отношение показателей преломления сред

После этого идеи «экстремализма» целиком завладели умами и математиков и физиков, которые осознали, что большинство реальных задач — это те, в которых нужно искать максимумы и минимумы. Так родилось вариационное исчисление — раздел анализа, типовая задача которого найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.