Счастливые числа Эйлера. Их всего шесть на бесконечность!

Главным героем нашего короткого повествования является ничем не примечательный двучлен вида:

Эйлер, изучая алгебраические проблемы, связанные с числовыми полями как-то заметил, что, если принять n=41, то для всех m, меньших его, значение двучлена является простым числом! Например:

Естественно, на числе 41 стройная последовательность результатов-простых чисел прерывается, потому что:

Просто до этого мы так же могли вынести за скобки m, но оно было взаимно простым с числом 41, и итоговый результат ни на что не мог делиться.

Таким образом, число n=41 является одним из счастливых чисел Эйлера: если взять все числа, меньшие его и подставить в указанный двучлен вместо m, мы получим непрерывающуюся последовательность простых чисел.

А что же с остальными ?

Например, если я возьму вместо 41 число 32, то получу такую ситуацию:

Понятно так же, что если взять и любое другое нечетное число, у которого есть делители, последовательность прервется. Например, возьмем число 15:

Таким образом, вариантов не остается: нужно искать кандидатов среди простых чисел, таких же, как 41.

Естественно, возникает индуктивная гипотеза, что это свойство всех простых чисел и двучленов такого вида. Однако, оно разбивается в пух и прах сразу:

Сразу, да не сразу! Оказывается все простые числа, меньшие 7, а это 2,3,5 — так всё же являются счастливыми числами Эйлера. Но что же с остальными двумя, ведь в названии заявлено 6!

Этим вопросом озадачились много позже времен Леонарда Эйлера, когда уже в ХХ веке одесский математик Георгий Рабинович не показал связь дискриминанта нашего двучлена с его свойством производить простые числа «счастливым образом». Вкратце, получилось так:

Оказалось, что если дискриминант двучлена равен отрицательному числу Хегнера (заслуживают отдельной истории, но не в рамках одного материала по причине сложности теории), то число n — счастливое число Эйлера. Так как чисел Хегнера самих — «раз,два и обчелся», мы получаем что существует всего лишь шесть счастливых чисел Эйлера. На бесконечность, конечно, счастья маловато…..