Удивительное свойство простых чисел, которое набросал на салфетке американский студент. Гипотеза Гилбрайта

Одним из краеугольных камней которого является исследование распределения и свойств простых чисел.

В 1958 году студент Калифорнийского университета Норман Гилбрайт записывал на салфетке последовательные простые числа, вычисляя их попарные разности:

В каждой следующей строке записывается разность по модулю (без учета знака) между числами в строке предыдущей.

«Что, если продолжить ряд дальше?» — подумал Норман

Оказывается, и это проверили товарищи Нормана по университету на одном из самых мощных в то время компьютере SWAC, для всех первых 63419 простых чисел, последовательности будут начинаться с 1!

С первого взгляда может показаться, что гипотеза Гилбрайта абсолютно тривиальна из-за серьезной ограниченности исходных условий: может быть, дело не в каких особенностях простых чисел, а в том, что утверждение верно для любой последовательности, которая начинается с 2, а потом продолжается только нечетными числами?

Например, Мартин Гарднер в 1980 году опубликовал гипотезу, согласно которой свойство гипотезы Гилбрайта (наличие 1 в первом члене каждой разностной последовательности) должно выполняться вообще для каждой последовательности, которая начинается с 2 и впоследствии содержит только нечетные числа и имеет ограниченную сверху разницу между членами.

Это оказалось ошибкой: для каждой такой последовательности существует числа, которые подчиняясь общему «потолку» скорости роста, нарушают идиллию.

Действительно, важнейшим фактором является скорость роста, которая отражается в разрыве между членами последовательности. Давайте его немного увеличим, добавив другое нечетное число (не простое):

Здесь уже один из членов, пока только последний, не равен 1. Может быть, если работать только с простым числами, получится иной результат? Начнем с одного пропущенного:

Пока все последовательности всё так же неизменно начинаются с 1. Пропустим еще и еще:

Итак, пропустив три простых числа, мы получили, что последний элемент отличается от 1.

Очевидно, что вся соль гипотезы заключается именно в законе распределения именно простых чисел, поэтому исследование «разрывов» между ними должно было бы дать результат:

На графике показаны реальные разрывы между простыми числами и теоретические модели разных математиков

На данный момент известно, что максимальный разрыв между простыми числами равен 2 254 930, и это для «соседей» у которых 86 853 знаков! И даже такой внушительный интервал не приводит к опровержению гипотезы Гилбрайта! На 2022 год утверждение Нормана Гилбрайта остается одной из нерешенных задач математики.

Сам же студент после озарения не только стал заниматься наукой (работал в области оптимизации в крупной корпорации RAND),но и нашел своё призвание на сцене, став карточным фокусником, выступающим в голливудском «Волшебном замке».

Именем Гилбрайта даже назван специальный способ перетасовки игральных карт, сохраняющий многие свойства колоды, так важные для трюков с ней. Например, если в колоде чередуются черные и красные карты, то после такой перестановки колода по-прежнему будет обладать тем же свойством. Спасибо за внимание!