«Он должен быть стать вторым Ньютоном» — так говорил Харди о Рамануджане после первого письма. Что же такого написал индиец?

Внутри была пачка бумаг и сопроводительное письмо, отправленное молодым индийским математиком по имени Сриниваса Рамануджан. Рамануджан был начинающим, но невероятно талантливым молодым математиком-самоучкой.

В сопроводительном письме он обсуждал три темы, которые привлекли внимание Харди:

1. Теория чисел: Рамануджан представил невероятно интересные результаты, связанные с разложением чисел на сумму квадратов и их особенностями.
2. Ряды и аналитические выражения: индиец предложил новые методы для вычисления различных рядов.
3. Диофантовы уравнения: здесь он представил свои работы в области диофантовых уравнений, которые касаются поиска целочисленных решений для различных алгебраических уравнений.

Сопроводительное письмо

Вступительный абзац, возможно, был предназначен для того, чтобы вызвать как жалость, так и удивление у Харди, которому тогда было 36 лет и который был общепризнанным ведущим английским математиком своего времени.

Уважаемый сэр,

«Я пишу вам как клерк в бухгалтерии Портового трастового управления в Мадрасе, с зарплатой всего 20 фунтов стерлингов в год. Мне сейчас около 23 лет. Хотя у меня нет университетского образования, я прошел обычный школьный курс. Однако, по окончании школы, я начал уделять много времени изучению математики. Я не прошел традиционный университетский путь, но самостоятельно нашел новые методы и идеи. Мои исследования сфокусированы на расходящихся рядах в целом, и результаты, которые я получил, были признаны местными математиками как «поразительные».

Второй абзац

Во втором абзаце Рамануджан подходит к сути своего вопроса:

«Я обратил своё внимание на интегралы и различные суммы, которые привели меня к исследованию гамма-функции для отрицательных и дробных значений. Я получил некоторые новые и интересные результаты, которые, как я считаю, имеют важное значение для области математики. Я попытался доказать некоторые из этих результатов, но некоторые вопросы остаются открытыми, и я был бы рад услышать ваше мнение по этим вопросам.

Точно так же, как в элементарной математике вы придаете значение Aⁿ, когда n отрицательно и дробно, чтобы соответствовать универсальному закону, когда n является положительным целым числом, аналогично, все мои исследования направлены на придание значения второму интегралу Эйлера для всех значений n. Мои друзья, прошедшие обычный курс университетского образования, говорят мне, что

верно только тогда, когда n положительно. Они говорят, что это интегральное соотношение неверно, когда n отрицательно.

В условиях, которые я излагаю, интеграл верен для всех значений n, отрицательных и дробных. Все мои исследования основаны на этом, и я развивал это до замечательной степени, настолько, что местные математики не в состоянии понять меня».

Гамма-функция Γ(n), на которую ссылается Рамануджан, была важным объектом изучения с тех пор, как Бернулли и Гольдбахом в 1720-х годах начали изучать факториалы дробных аргументов.

За 50 лет до Рамануджана уже было известно, что гамма-функция определена для всех комплексных значений z, которые больше нуля. Комплексные числа, как вы, возможно, знаете, представляют собой класс чисел, включающий в себя действительную и мнимую части. Обозначим действительную часть комплексного числа как Re(z) (обычное вещественное число) и мнимую часть как Im(z), обозначаемую буквой i. Таким образом, комплексное число можно записать как z = σ + it, где σ — действительная часть, а it — мнимая часть.

Комплексные числа очень полезны, так как они позволяют математикам и инженерам решать проблемы, для которых обычные действительные числа недостаточны. Визуализированные комплексные числа представляют собой расширение традиционной одномерной «числовой линии» до двумерной «числовой плоскости», которую называют комплексной плоскостью. В этой плоскости действительная часть комплексного числа находится на оси x, а мнимая часть — на оси y.

Чтобы использовать гамма-функцию Γ(z), ее обычно представляют в виде:

Гамма-функция является важной математической функцией, которая обобщает понятие факториала на комплексные числа. Она широко применяется в различных областях математики, физики и других наук.

Рамануджан в своих исследованиях внёс значительные вклад в ее изучение, построив её т.н. аналитическое продолжение (внимание!), не имея никаких академических знаний и инструментов по его построению.

Термин «аналитическое продолжение» ввёл в 1842 году Карл Вейерштрасс. Рамануджан не был знаком с его трудами.

Третий абзац

«Недавно я обнаружил вашу опубликованную работу, и на странице 36 обнаружил интересное утверждение. Ваше утверждение гласит, что на данный момент нет точного выражения для количества простых чисел, меньших чем заданное число. Однако вы нашли выражение, которое очень близко к реальному результату, и ошибка в нем незначительна».

Количество простых чисел, которые меньше или равны заданному действительному числу x, обозначается как π(x), представляя собой ступенчатую функцию, увеличивающуюся на 1 при каждом простом значении x. Ниже приведен график функции π(x) до x = 200:

π-функция даёт точно значение количества простых чисел, меньших данного. Однако, её формула в явном виде не известна. Все дальнейшие попытки математиков- это функции, как можно более близкие к ней.

Гаусс рассматривал вопрос о том, сколько простых чисел меньше заданного числа, когда ему было 15 или 16 лет в 1792-1793 годах. Лежандр немного позже, в 1797-98 годах предположил (на основе таблиц простых чисел Фелькеля и Веги), что функция простого счета π(n) аппроксимируется функцией:

где A и B — некоторые константы. Позже он показал, что приближенное значение A = 1, B = -1.08366. Дальнейшие приближения функции распределения простых чисел исходят из утверждения, которое известно как теорема о распределении простых чисел:

“Если x стремится к бесконечности, функция простого счета π (x) будет приближаться к функции x / ln (x)”

Другими словами, для достаточно больших х графики указанных выше функций будут сливаться в один:

Позже Дирихле сформулировал свое собственное приближение:

Оказывается, что Li (x) на самом деле является лучшим приближением к точной π-функции , чем x / ln(x):

Заявленное Рамануджаном приближение для функции распределения простых чисел π (x) было гораздо менее точным, но все же удивительным, учитывая его ограниченный доступ к современным книгам.

Четвертый абзац

«Будучи бедным, но уверенным в ценности своих идей, я стремлюсь опубликовать свои теоремы. Хотя я не представил конкретных исследований или выражений, которые я получил, я указал направления, в которых продолжаю работать. Будучи неопытным, я очень ценю любой совет, который вы можете мне дать. Прошу прощения за возможное беспокойство, которое я могу вызвать.

С уважением, Дорогой сэр, Искренне ваш, С. Рамануджан»

На страницах, следующих за этим коротким сопроводительным письмом Рамануджана предоставил еще минимум 11 страниц (две из которых, к сожалению, теперь утеряны), содержащих технические результаты по различным темам. Эти темы включали работы над бесконечными рядами и гамма-функцией, распределением простых чисел, гипергеометрическими рядами, непрерывными дробями, эллиптическими функциями, бесконечными рядами Бромвича, расходящимися функциями, обсуждение чисел Бернулли и многое другое.

Реакция Харди

Письмо Рамануджана станет первым в долгой переписке, кульминацией которой станет приглашение приехать в Тринити-колледж в Кембридже, чтобы работать с Харди.

Но, получив первое письмо Рамануджана, Г. Х. Харди сначала отнесся к нему скептически. Как описывает Роберт Канигель в своей книге «Человек, познавший бесконечность» (1991), страницы с теоремами Рамануджана казались Харди чужим лесом, где деревья были знакомыми, но такими странными, что казалось, будто они с другой планеты. Вначале его поразила странность теорем Рамануджана, а не их блеск. Харди думал, что индиец просто еще один чудак.

Но рукопись индийца все равно не давала ему покоя. Его «дикие теоремы», как минимум, вызывали любопытство. Это были теоремы, с которыми Харди раньше не сталкивался и о существовании которых он даже не подозревал.

Когда Г. Х. Харди снова обратил внимание на рукопись Рамануджана и увидел его теорему о цепных дробях на последней странице, его впечатление диаметральное изменилось. Харди попросил своего коллегу Дж. Э. Литтлвуда рассмотреть документы, и его реакция была точно такой же – изумление гениальностью Рамануджана.

Это привело Харди к выводу, что письмо Рамануджана было «безусловно, самым замечательным из всех, которые я получал», и что Рамануджан был «математиком высочайшего качества, человеком совершенно исключительной оригинальности и силы».

Бертран Рассел (1872-1970) позже написал, что на следующий день он “нашел Харди и Литтлвуда в состоянии дикого возбуждения, потому что они верили, что нашли второго Ньютона”.

Ответ Харди

«Я с большим интересом прочитал ваше письмо и изложенные в нем теоремы. Однако, чтобы должным образом оценить вашу работу, мне было бы важно увидеть доказательства некоторых ваших утверждений. По моим наблюдениям, ваши результаты можно разделить примерно на три класса:

1. Некоторые из ваших теорем уже известны или могут быть выведены из известных теорем.
2. Есть результаты, которые, возможно, новы и интересны, но они вызывают любопытство и кажутся сложными, не обладая значимостью в настоящем времени.
3. Вы представили результаты, которые, возможно, новы и важны, но их значимость полностью зависит от строгости используемых вами методов доказательства.

Я очень надеюсь, что вы предоставите мне несколько доказательств как можно скорее и расскажете более подробно о вашей работе с простыми числами и расходящимися рядами. Кажется вероятным, что вы проделали большую и ценную работу, заслуживающую публикации. Если вы предоставите удовлетворительные доказательства, я с радостью помогу обеспечить публикацию вашей работы.

Я не упомянул некоторые из ваших результатов, в частности о эллиптических функциях, так как передал их другому более опытному математику в этой области.

Надеюсь получить от вас скорый ответ.

С уважением, Г.Х. Харди»

Что было дальше

В 27 лет Рамануджан переедет в Англию и начнет работу в Кембриджском университете в качестве профессора математики (примечательно, что юноша получил лишь школьное образование!).

Рамануджан создаст свой уникальный математический мир, объединяя начальный запас математических фактов с огромным количеством наблюдений над конкретными числами.

По словам Харди, каждое натуральное число становилось личным другом Рамануджана, так быстро и легко он работал с числами.

Многие его современники в мире математики считали Рамануджана чудом, опережающим свое время на не менее чем сто лет. Его проницательность и гениальность поражали. Даже современные математики не перестают удивляться его таланту, который позволял ему преодолевать границы математического знания своего времени.

Из-за семейных обстоятельств Рамануджан вернулся в Индию, где умер в возрасте 32 лет 26 апреля 1920 года. Причиной его преждевременной смерти, возможно, стали туберкулез, осложненный недоеданием, истощением и стрессом. В 1994 году появилось предположение о том, что у Рамануджана могла быть амебиазная инфекция.