Кто доказал теорему Ферма и как

Для любого натурального числа n>2 уравнение

не имеет решений в натуральных числах a, b, c.

А вот доказать ее оказалось чрезвычайно трудно — этим она и знаменита. Настолько трудно, что работа над доказательством заняла 350 лет, и доводили его до ума ведущие математики мира. Для этого пришлось строить новые математические теории и по дороге доказывать утверждения, которые выглядели куда сложнее самой теоремы.

На самом деле с четвертыми степенями (что нет решений в натуральных числах при n=4) справился сам Ферма. Великий Эйлер доказал, что нет решений для кубов. К 1980 году теорему Ферма доказали для всех степеней до 125 000-й.

Но общего результата все не было: нужна была новая идея.

Решение пришло из теории эллиптических кривых. Эллиптическая кривая — вовсе не эллипс; это кривая на плоскости, заданная уравнением

Уравнение не кажется очень уж страшным: тут нет логарифмов, корней и синусов. Но все же эллиптические кривые уже показывают довольно сложное поведение.

С 1970 года математики стали подозревать о причудливой связи между эллиптическими кривыми и теоремой Ферма. Грубо говоря, если Ферма ошибся, и две n-е степени могут в сумме дать третью, то эти три числа должны определять эллиптическую кривую. А раз степени так связаны, должна получиться очень странная эллиптическая кривая с непредсказуемыми свойствами. Такими неожиданными, что должна вести себя буйно, если вообще может существовать, как в 1985 году заметил Герхард Фрей.

Это наблюдение открывает дверь доказательству от противного. В 1986 году Кеннет Рибет ухватил идею Фрея за хвост, доказав, что если теорема Ферма неверна, то соответствующая эллиптическая кривая противоречит гипотезе японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Шимуры. Гипотеза Таниямы – Шимуры, выдвинутая в 1955 году, гласит, что каждой эллиптической кривой соответствует некоторая модулярная форма (это специальные математические объекты, обладающие многими симметриями).

И модулярные формы, и особенно эллиптические кривые были известны давно, но изучались по отдельности. Как когда-то физики отдельно изучали магнетизм, отдельно электричество. Естествоиспытатели не сразу заметили между ними связь, а когда заметили, — не сразу построили единую теорию. Но как мы знаем теперь, прояснение связей очень продвинуло наши знания и об электричестве и о магнетизме.

Открытие Рибета означало, что как только будет доказана гипотеза Таниямы – Шимуры, автоматически будет доказана теорема Ферма (от противного). Действительно, из ложности теоремы Ферма следует, что эллиптическая кривая Фрея существует, а из теоремы Таниямы – Шимуры — что нет.

Гипотеза Таниямы – Шимуры была крепким орешком, недаром она оставалась гипотезой 40 лет. Но она связана со многими областями математики и твердо позиционируется в той области, где развиты мощные техники: в теории эллиптических кривых. Над ее доказательством работал английский и американский математик Эндрю Уайлс.

Я уже рассказывал, как теорема Ферма стала такой знаменитой, почему расплодились ферматисты. Присоединившись к их разношерстному сонму, Уайлс всерьез рисковал репутацией, поэтому почти 7 лет скрывал, чем занимается.

В июне 1993 года Уайлс объявил, что доказал гипотезу Таниямы – Шимуры, но не для всех эллиптических кривых, а для одного их класса — полустабильных. Эллиптические кривые Фрея, если они существуют, то полустабильны, поэтому из доказательства Уайлса следовала великая теорема Ферма.

Но это еще не конец истории. Уайлс опубликовал свою работу, и когда эксперты проверили ее, обнаружились недочеты в рассуждениях. Он быстро справился почти со всеми, но один недочет оказался серьезным и никак не поддавался. Когда уже поползли слухи, что представленное доказательство провалилось, Уайлс сделал последнюю попытку спасти свое детище, которое казалось все более хрупким, и против ожиданий многих, справился. С одним техническим моментом ему помог его же бывший ученик, Ричард Тейлор, и к концу октября 1994 года доказательство было завершено. Все остальное, как говорят, уже история.

К доказательству теоремы Ферма причастны многие математики, но самый серьезный шаг в доказательстве сделал Эндрю Уайлс.

В комментариях меня часто спрашивают: а какая польза от того или иного математического факта? Есть ли какая-нибудь выгода от теоремы Ферма? И нельзя ли ее намазать на хлеб вместо масла?

Давайте еще раз вспомним про электричество и магнетизм. 200 лет назад датский профессор физики Ганс Эрстед заметил, что всякий раз, когда он включал ток в цепи, магнитная стрелка компаса поблизости стремилась повернуться перпендикулярно проводнику, а когда выключал, стрелка возвращалась в исходное положение. Еще современники Эрестеда понимали, что открытие такой связи очень важно. Но до промышленного использования электричества было еще очень и очень далеко.

Практическая польза от математических открытий становится понятной только спустя поколения. Это нормально. Требовать пользы немедленно — -все равно что требовать её от младенца.