Что изучает математика?

А также их мамам, папам, бабушкам и даже отдельным дедушкам.

– Доброе утро, дорогие друзья! – Игорь Петрович, учитель математики, достал из кармана клетчатый платок и начал неторопливо и бережно протирать свои очки. – «Дорогими ребятами» вас называть язык не поворачивается. Вы уже одиннадцатиклассники, взрослые люди, последний год – и со школой распрощаетесь уже навсегда…

– Жду не дождусь… – пробасил с задней парты долговязый Тихонов. Все засмеялись, включая учителя.

– Верю, Коля, ещё как верю! – Игорь Петрович, наконец, надел очки, встал из-за стола и начал, по своему обыкновению, неторопливо прогуливаться по классу. – Я сам такой же был. Мы мало чем отличались от вас – были такие же усатые, важные, и считали себя ну просто самыми-самыми крутыми во всей школе. Как вы сейчас любите говорить, «топчик», верно? И всех учителей уже знаешь, как облупленных, и все классы, и на остальных школьников глядишь снисходительно, свысока, как на мелюзгу мелкую, и сам чёрт тебе не брат…

– А разве это не так? – под всеобщее одобрительное молчание спросил Вася Колдашев, староста класса.

– Ну, наверное, так… – продолжал учитель. – Правда, потом нас всех ждал, как вы изволите выражаться, «жёсткий облом»…

– Почему? – полюбопытсвовала Наташа Гущина.

– Ну, хотя бы потому, что после школы многие из нас поступили в вузы, в институты… И там мы – великовозрастные десятиклассники, считавшие себя самыми сильными, самыми взрослыми, самыми умными и вообще чуть ли не повелителями вселенной, вдруг снова оказались «первоклассниками», в смысле первокурсниками, «желторотиками», или, как говорят студенты постарше, «абитурой», на которую свысока и снисходительно глядят абсолютно все… Даже кошка в студенческой столовой! Между прочим, было очень обидно!

В классе повисла недоверчивая тишина. Наконец, кто-то тихо сказал:

– Фигассе…

– Увы, дорогие мои короли школы, такова жизнь! – продолжал математик. – Однако пока всё-таки вы ещё не «сопливая абитура», а авторитетные многомудрые одиннадцатиклассники, целый учебный год впереди. И я хочу наш первый урок посвятить вот какому вопросу, весьма сложному и заковыристому. А что именно изучает математика?

Женя Рябов пожал плечами и ответил, не поднимая руки:

– Формулы изучает, примеры, задачи разные…

– Вот как? – глаза у Игоря Петровича хитро блеснули. – Ну хорошо. Родители летом задали Рябову сложную задачу: вскопать огород на даче. Все шесть соток. Как будем решать?

– Методом научного тыка лопатой! – сострила Вероника Малышева с первой парты. В классе засмеялись. Рябов улыбнулся и сказал:

– А это, Игорь Петрович, задача не математическая!

– Отлично, молодец! – учитель потёр довольно руки. – Осталось только сообразить, как отличить математическую задачу от нематематической. У кого есть идеи?

Одиннадцатиклассники задумались. Нина Ларина подняла руку и сказала уверенным тоном круглой отличницы:

– Я считаю, что математическая задача должна содержать числа или формулы.

– Многие так считают! – кивнул Игорь Петрович.

– А это что, неправильно?

– Именно что неправильно. Скажем, вот вам математическая задача: «Что получится, если вырезать дыру в стенке бутылки Клейна?». Или другая: «Турист вышел из палатки и с одинаковой скоростью прошёл час на юг, потом час на запад, потом час на север и вернулся в палатку. Какого цвета был медведь, которого турист встретил по дороге?».

Старшеклассники дружно расхохотались. Коля Тихонов усмехнулся:

– Я тоже знаю такую задачу! «Плывут по Нилу два крокодила, один зелёный другой на север. Сколько лет лысому ёжику?».

Игорь Петрович подошёл к доске.

– Смейтесь-смейтесь, господа, но задачка Коли – просто шутка, а вот задачки, условия которых прочитал я, самые настоящие, математические, и, кстати, решить их не так-то просто. Первая задача – из области математики, которая называется «топология», а вторая относится к сферической геометрии. Вы такого в школе не проходили!

Класс стих.

– Итак, я возвращаюсь к главному вопросу нашего урока: что делает задачу математической? Что всё-таки изучает математика? Принимаются любые варианты, двоек я сегодня ставить не буду! Ну, кто смелый?

Егор Яценко выложил перед собой смартфон, что-то там поковырял, а потом прочитал прямо с экрана:

– «Математика – это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств».

– Яценко только что продемонстрировал нам навыки чтения текста из Википедии! – учитель развёл руками. – Только вот вопрос: а как ты, Яценко, понимаешь то, что только что прочитал?

– Ну… – Егор поднялся из-за парты и задумался. – Честно говоря, не очень понятно. Отношения между объектами, о которых ничего не известно… Это уже какие-то неопознанные летающие объекты получаются… НЛО…

Все засмеялись.

– Википедия штука полезная, и поиск в интернете тоже, – Игорь Петрович жестом разрешил Егору сесть. – Но человек должен обязательно понимать то, что он читает. Лично мне определение, которое нашёл Егор, не нравится. У кого ещё есть идеи?

Вера Вершинина осторожно подняла руку:

– Математика изучает числа и их свойства.

– Ответ правильный, но неполный. Во-первых потому, что из него сразу же вытекает ещё один вопрос, очень непростой и заковыристый – а что такое число? Егор, что там на этот счёт пишет твоя любимая Википедия?

Яценко потыкал пальцами в смартфон и прочитал:

– «Число – одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей». Игорь Петрович, тут опять эти… объекты!

Учитель кивнул:

– Видите, какой получается замкнутый круг? Математика – «наука, которая изучает числа». А число – «то, что изучает наука математика». Плохо. Ну и второе, что в Верином ответе мне не по душе. Я считаю, что в одиннадцатом классе вы, ребята, уже должны уметь делать обобщения, не так ли? Если я спрошу вас, что изучает зоология, вы же не ответите мне – «медуз» или «собак», правда? Вы ответите – «животных». Точно так же математика – она изучает самые разные объекты. Числа, множества, функции, ряды, геометрические фигуры, алгоритмы, линейные операторы, матрицы, функционалы, тензоры, да Бог весть сколько всякой всячины! Но что общего у всего этого? Что все эти непохожие друг на друга объекты объединяет?

Класс совершенно затих. Игорь Петрович обождал какое-то время, но руку никто не поднимал. Учитель подошёл к своему столу и достал из ящика игрушечный грузовичок. Поставил его перед собой на стол и стал задумчиво катать туда-сюда. Одиннадцатиклассники негромко зашумели. Сидящие на задних партах привставали со своих мест, чтобы лучше увидеть, чем занимается математик. Своего учителя школьники знали давно и хорошо – он просто обожал такие вот неожиданные загадки; было понятно, что машинка оказалась на столе не просто так, что она должна что-то подсказать или навести на какую-то мысль. Но на какую именно?

Игорь Петрович внимательно оглядел своих учеников:

– Что это, кто знает?

С разных сторон класса полетели варианты:

– Самосвал!

– Машина!

– Игрушка!

Неожиданно поднял руку и встал Вадим Смирнов:

– Игорь Петрович, это коллекционная модель самосвала «Камаз 5511», масштаб один к сорока трём. Между прочим, редкая вещь. Откуда у вас такая?

Учитель улыбнулся:

– У внука позаимствовал. На время! Но не это важно, ребята – важно что прозвучало слово «модель»! А скажи-ка нам, Смирнов, что такое модель?

Вопрос был по адресу. Смирнов был известным на всю школу собирателем моделей самолётов, кораблей и танков.

– Ну… модель – это… когда мы, например, берём автомобиль, уменьшаем его в заданном масштабе и делаем, например, из пластмассы… вот это называется модель.

Игорь Петрович поставил грузовичок на стол.

– Спасибо, Вадим, садись. Хм… Видите ли, друзья, рыбе очень трудно объяснить, что такое река. Почему? Потому что рыба живёт в реке, находится внутри. А чтобы понять, что такое река, надо из этой реки как бы выпрыгнуть, посмотреть на неё со стороны. Вы не думайте, что я забыл про наш главный вопрос урока – «что изучает математика?». Но чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно как бы уйти от математики, «выпрыгнуть» из неё, обратиться за помощью к другой науке. Кто догадается, к какой именно?

Снова посыпались варианты:

– Физика!

– Астрономия!

– Информатика!

– Стоп! Кто сказал «информатика»? – Игорь Петрович хлопнул в ладоши.

Из-за парты поднялась Нина Ларина.

– Ниночка, благодарю, садись, молодец. Итак, нам нужно обратиться за помощью к информатике. Вы на уроках уже наверняка не раз и не два обсуждали один из главнейших постулатов, то есть законов информатики. А именно – что любой объект, реальный или воображаемый, может быть представлен в виде списка его свойств. Помните такое?

В классе снова повисла тишина.

– Ну если не помните, то я напомню. Любой предмет, живое существо, событие, художественный образ и так далее и тому подобное можно представить в виде некоего списка свойств, как говорят учёные – «фрейма». Допустим, вот карандаш. Для этого карандаша мы создаём список свойств: материал изготовления – дерево. Сердцевина – из графита. Профиль – круглый. Форма – вытянутая. Длина – 20 сантиметров, толщина – 8 миллиметров. Такой фрейм можно составить абсолютно для всего. Скажем – учитель математики. Фамилия – такая-то, имя – такое-то. Рост, вес, цвет волос, чем увлекается в свободное время, характер, привычки – хоп! И готов, так сказать, «информационный портрет» объекта, его фрейм. Ну, или как характеристики компьютера в магазине: процессор такой-то, частота такая-то, ядер столько-то, видеокарта такая и так далее. Я понятно объясняю?

Одиннадцатиклассники закивали головами. И в самом деле – пока ничего сложного учитель не сказал.

– А теперь внимание, вопрос! Допустим у меня есть два объекта – объект А и объект Б. И мне достоверно известно, что список свойств у этих объектов абсолютно одинаковый. Как тогда будут называться эти объекты? Ещё раз повторяю: у них один и тот же список свойств! Ну?

Первым поднял руку Коля Тихонов:

– Копия?

– Конечно! Если списки свойств полностью совпадают, то объект Б является точной копией объекта А. Как в компьютере – скопировать, вставить, скопировать, вставить. Но! Что будет, если у нас список свойств объекта совпадает, но не совсем точно? То есть часть свойств совпадает, а часть – нет?

– Плохая копия! – сказала с места Вера. Все засмеялись. Потом вдруг поднялся Вадим Смирнов:

– Это… получается… модель?

– А! Что значит моделист! Сообразил, да? – Игорь Петрович был жутко доволен. – Ребята, вы все поняли? Возьмём объект: настоящий грузовик, тот же «Камаз». Составим список его свойств – сколько колёс, какие размеры, цвет, вес, из каких деталей состоит и так далее. Если у нас есть другой объект, у которого все свойства абсолютно такие же – то получим полную копию. В точности такой же настоящий «Камаз». А если свойства совпадают, но не все, а только часть? Четыре колеса, откидывается кабина, кузов тоже откидывается, совпадают цвет, пропорции… А вот размеры и вес – маленькие! И двигатель фальшивый, из пластмассы! И что мы в итоге получаем? Модель! То есть делаем вывод: объект Б может называться моделью объекта А, если списки свойств у этих объектов частично совпадают. Те свойства, которые нам «нужны», интересны, мы у модели сохраняем. А те, которые для нас не важны, второстепенны – отбрасываем.

Математик снова неторопливо пошёл по рядам.

– Обратите внимание: понятие «модель» в информатике намного обширнее, чем наше обычное представление о том, что такое модель. Помните, мы составляли список свойств для карандаша? А теперь составим список свойств для школьной указки: материал изготовления – дерево, форма – вытянутая. То есть часть свойств у карандаша и указки совпадают. А это означает, что указка является моделью карандаша! Или, наоборот, карандаш – моделью указки!

– Но разве это не так? Вы же сами, Игорь Петрович, постоянно используете карандаш вместо указки на уроках! – сказала с места Вероника.

– Именно что так! Наше бытовое понятие «похожести» информатика реализует как сравнение списков свойств. Чем больше свойств у объектов А и Б совпадает, тем больше объект Б становится похожим на объект А. И наоборот. Итак, повторяю: для того, чтобы создать модель объекта, мы должны, во-первых, определить, какие свойства нам интересны, какие свойства мы сохраняем; как говорят компьютерщики – «какие свойства объект унаследует». А во-вторых – решить, какие свойства объекта нас не интересуют, их мы поменяем или вообще отбросим. Логично? А теперь коварный вопрос для проверки того, хорошо ли вы меня поняли: а можно ли сказать, что рисунок «Камаза», нарисованный первоклассником Петей Сидоровым, является моделью?

Прошло несколько минут. Наконец поднял руку Егор:

– Получается, что с точки зрения информатики детский рисунок тоже модель. Потому что он как бы «наследует» у настоящего Камаза многие свойства. Цвет, например. Количество колёс, форма кабины. Хотя конечно это не такая хорошая модель, как у вас, Игорь Петрович!

Учитель кивнул:

– Да, это так. Я читал вот про какой случай – во время войны немцы заняли пионерский лагерь, ну, детский летний лагерь по-современному. Устроили там что-то типа военной базы. А у наших войск при подготовке наступления подробных карт под рукой не оказалось. Но в местной школе нашли детские рисунки, которые изображали отдых в этом лагере. И разведчики по этим рисункам смогли составить вполне годный план – где какие корпуса, где какие аллеи, откуда что может простреливаться, как что расположено. И немецкую базу в итоге наши успешно взяли. Так что в каких-то ситуациях даже наивные и «непрофессиональные» детские рисунки, даже детей семи-девяти лет, тоже могут оказаться вполне себе востребованными «моделями объектов», особенно если таких рисунков достаточно много.

В классе недоверчиво зашептались.

– Итак, чтобы превратить некий объект в модель, мы должны часть его свойств отбросить. Кстати, сама процедура отбрасывания свойств объекта называется по-латыни «абстракцией», «абстрагированием». Слышали такое слово, понимаете, что оно означает? Абстракция – это отбрасывание ненужного, несущественного. А вот теперь снова внимание! Возьмём всё тот же самый «Камаз», а точнее его список свойств. И начнём по очереди отбрасывать «неинтересное» – и размеры, и вес, и материал, и цвет, и всё-всё-всё, пока изо всего списка у нас не останется только один элемент: количество колёс. Шесть.

Игорь Петрович снова вернулся за свой стол и взял в руки игрушку.

– Смотрите, мы получили крайне необычный объект! Мы отбрасывали по очереди все свойства, пока от целого «Камаза» не осталось просто одно-единственное число: шесть. Шесть «чего»? А «ничего», просто шесть! Этакая, позвольте, «улыбка без кота» – помните сказку «Алиса в стране чудес»? Вот такая необычная модель называется «вырожденной», или, по-другому – «математической». Что такое число? – помните, у нас уже на уроке поднимался этот вопрос? Я уточню: что такое натуральное число? А это ни много ни мало как математическая модель количества. Можно ли утверждать, что шесть яблок представляют собой модель «Камаза»? Или шесть школьников из класса? Казалось бы нет, «вот совсем не похоже». Однако общее свойство есть – это количество! Шесть. Два километра абсолютно не похожи на два килограмма – но у них есть общее свойство, их два, и тут, и там!

Поднял руку Вадим:

– Тогда получается, что математика изучает математические модели?

– Верно! Математика изучает особые воображаемые объекты – вырожденные информационные модели, или математические модели. Что такое натуральное число? Это математическая модель количества предметов, счёта. Что такое рациональное число? Это математическая модель соотношения между какими-то двумя величинами. История математики, развитие математики – это прежде всего создание людьми всё новых и новых математических моделей. Начиналось всё, само собой, с простейших моделей – скажем, того же самого натурального числа. Нам с вами сейчас это кажется таким простым и понятным – что, скажем, одни предметы можно использовать для счёта других. Что в первом классе можно счётными палочками или косточками на счётах считать яблоки, книжки или деревья на улице. А были времена, когда люди этого не знали, когда уровень абстрактного мышления у них был крайне низким, примитивным. На вопрос «сколько деревьев растёт в саду?» они не могли ответить «десять деревьев». Они могли сказать только «три яблони, три груши и четыре абрикоса». А складывать груши с яблонями (то есть «абстрагироваться», отбросить несущественную информацию, как это делаем мы) они не умели!

– А какую математическую модель люди придумали второй? Ну, после натурального числа? – спросила Нина.

– Вторая важнейшая математическая модель, придуманная людьми – это «икс», то есть неизвестная величина. Для нас с вами «икс» – штука совершенно привычная, а вот древние математики относились к этой модели с огромным уважением. Некое число, которого мы не знаем – но оно есть! Это тайна, маска, нечто загадочное и непостижимое. Новая математическая модель позволяла производить расчёты с неизвестными числами так же просто, как с известными. Это было важнейшее открытие. Ещё в древности были открыты такие математические модели, как число ноль, рациональное число и даже иррациональное число. А вот такие математические модели, как комплексное число, функция, оператор, производная, интеграл – они появились не так давно, в XVII веке. С функциями вы уже знакомы, а производные и интегралы мы с вами в этом году будем проходить. Так что готовьтесь!

– А какие ещё бывают математические модели? Более современные?

– Ну, скажем, в XX веке учёные научились пользоваться такими моделями, как «игра с нулевой суммой», «математическая катастрофа» или «детерминированный хаос». Но это уже высшая математика, само собой.

– Игорь Петрович! – встал с места Коля. – А можно ещё вопрос до звонка?

– Да, конечно!

– А что всё-таки получится, если вырезать дыру в стенке бутылки этого… как его там… Клейна?

Учитель засмеялся.

– И ведь запомнил же! Если вырезать дыру (или, как говорят математики, «бесконечно малую окрестность») в стенке бутылки Клейна, то получится лист Мёбиуса, она же лента Мёбиуса. Доказать это в рамках школьной математики не выйдет, но вот познакомиться с лентой Мёбиуса, бутылкой Клейна и их удивительными свойствами мы сможем в этом году на занятиях математического кружка. Так что кому интересно – добро пожаловать!

И раздался звонок…