Электромагнитные волны. Уравнения Максвелла

Неразрывно связанное с этим зарядом (электростатическое поле). Но в другой движущейся системе отсчёта он создаёт магнитное поле.

Аналогично, провод с постоянным током (равномерно движущимися в нём свободными зарядами) создаёт постоянное магнитное поле, неразрывно связанное с этим током.

Но относительно других инерциальных систем отсчёта этот провод с током будет находиться в движении, поэтому создаваемое им магнитное поле будет меняться, порождая вихревое электрическое поле.

Получается, что электрическое и магнитное поля не существуют обособленно, независимо друг от друга.

Переменные электрическое и магнитное поля находятся в тесной связи между собой, образуя единое электромагнитное поле.

Особенно ярко связь между электрическим и магнитным полями видны при рассмотрении работы колебательного контура, состоящего из конденсатора и катушки индуктивности.

Если в начальный момент времени сообщить конденсатору некоторую энергию (зарядить его), затем отключить от источника, то конденсатор начнёт разряжаться, а по катушке индуктивности потечёт всё возрастающий ток. При этом энергия электрического поля конденсатора уменьшается, а энергия магнитного поля катушки растёт.

Когда конденсатор полностью разрядится (энергия электрического поля станет равной нулю) энергия магнитного поля катушки достигнет максимального значения, равного первоначальной энергии электрического поля конденсатора (если активным сопротивлением колебательного контура можно пренебречь).

Затем ток в контуре уменьшается, энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растёт. Таким образом, в колебательном контуре происходят электромагнитные колебания, происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно. Но в закрытом колебательном контуре энергия электрического поля всегда сосредоточена в конденсаторе, а энергия магнитного поля — в катушке.

Поля смогут выйти в окружающее пространство если от закрытого колебательного контура перейти к открытому (вибратору). Следующий рисунок показывает переход от закрытого колебательного контура к открытому путём раздвигания обкладок конденсатора. Подробно о работе вибратора будет говориться в следующей статье.

Тогда изменяющееся электрическое поле, созданное в одной точке окружающего пространства породит изменяющееся магнитное поле в соседней точке пространства, которое в свою очередь породит переменное электрическое поле в следующей точке и т. д.

В результате электромагнитное поле оторвётся от своего источника и будет распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн.

К такому выводу пришёл Максвелл, поставивший перед собой цель объединить все открытия, полученные на то время в области электричества и магнетизма, и описать их математическими формулами.

Полученные им формулы, которые мы называем уравнениями Максвелла, являются уравнениями электромагнитных волн.

Основными характеристиками электромагнитного поля в вакууме являются напряжённость Е электрического поля и индукция В магнитного поля.

В среде электромагнитное поле дополнительно характеризуется ещё двумя вспомогательными величинами: напряжённостью Н магнитного поля и электрической индукцией D, называемой ещё электрическим смещением.

Магнитное поле удобно выражать через напряжённость Н, так как Н для однородного вещества не зависит от магнитной проницаемости вещества,

Электромагнитное поле принято характеризовать векторами напряжённости Е и Н, соответствующих электрической и магнитной составляющим электромагнитного поля.

Далее рассмотрим историю возникновения уравнений Максвелла, его рассуждения в этом вопросе, одновременно вспомним основные открытия в области электромагнетизма того времени.

Новый взгляд Максвелла на основной закон электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла

Открытое Эрстедом в 1820 году действие электрического поля на магнитную стрелку впервые указало на связь между электричеством и магнетизмом.

В том же году Ампер пришёл к выводу, что все магнитные явления обусловлены движущимися заряженными частицами. Им был установлен закон, определяющий силу взаимодействия между токами (закон Ампера).

В 1831 году Фарадеем было открыто явление электромагнитной индукции. Согласно основному закону электромагнитной индукции

в проводящем контуре (пусть это будет проволочный виток) возникает эдс индукции, пропорциональная быстроте изменения магнитного потока через контур (или когда изменяющийся магнитный поток вызывает появление в замкнутом проводнике индукционного тока).

Для объяснения этого явления Фарадеем впервые было введено представление об электрическом и магнитном полях.

Он отрицал существующую тогда концепцию дальнодействия, согласно которой заряды и токи, находясь на расстоянии друг от друга, взаимодействуют непосредственно (через пустоту).

Фарадей же считал, что эти взаимодействия осуществляются через электрическое и магнитное поля, что первый проводник с током создаёт магнитное поле в месте нахождения второго проводника с током, и это поле оказывает на него силовое воздействие, а второй проводник с током создаёт магнитное поле в месте нахождения первого проводника, действуя на него с силой (концепция близкодействия)

То же самое происходит между зарядами, находящимися на расстоянии друг от друга. Каждый из зарядов создаёт электрическое поле в месте нахождения другого заряда, оказывая на него силовое воздействие.

Фарадеем было введено понятие силовых линий поля, которые он рассматривал как механические линии, образующиеся в гипотетической всепроникающей среде — эфире.

Фарадей считал, что существует единое электромагнитное поле, а электростатическое и постоянное магнитное поля — это лишь проявления единого электромагнитного поля.

Через 30 лет после открытия Фарадеем явления электромагнитной индукции английский физик и математик Максвелл рассмотрел и развил далее идею Фарадея о существовании единого электромагнитного поля, разработав теорию взаимодействия электрических и магнитных явлений — теорию электромагнитного поля,

Изучая электромагнитную индукцию, открытую Фарадеем, Максвелл стал рассуждать о причине появления индукционного тока в замкнутом проводнике при изменении магнитного поля:

ток в проводнике — это перемещение свободных электронов, а они приходят в движение лишь при существовании электрического поля. Таким образом, единственная возможность появления электрического поля в проводнике (индукционного тока) связана с изменением магнитного поля, в котором находится проводник.

Учитывая это, Максвелл представил явление электромагнитной индукции так: при изменении магнитного поля вокруг него возникает вихревое электрическое поле (с замкнутыми силовыми линиями).

Обнаружить это вихревое электрическое поле можно с помощью витка проволоки, в котором должен возникнуть индукционный ток.

Согласно гипотезе Максвелла, вихревое электрическое поле всегда существует вокруг изменяющегося магнитного поля (существует и в вакууме, и в любой среде), а проволочный виток позволяет лишь обнаружить это вихревое электрическое поле.

Это предположение Максвелла поясним приведённым ниже рисунком, на котором показано, как изменяющееся (увеличивающееся) магнитное поле В, изображённое красными линиями, создаёт вихревое электрическое поле Е, силовые линии которого замкнуты в витке (если виток есть) или замкнуты просто в воздухе..

Представим, что в этом магнитном поле под прямым углом к его силовым линиям, которые изображены красным цветом, расположен проволочный виток.

С ростом магнитного поля будет расти и магнитный поток через виток. В витке возникнет индукционный ток, т. е. возникнет вихревое электрическое поле Е, силовые линии которого замкнуты внутри витка. Это поле проявляется как эдс индукции:

Знак «минус» в этом уравнении, называемом основным законом электромагнитной индукции, говорит о направлении индукционного тока. Согласно правилу Ленца, индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать росту внешнего магнитного поля.

При отсутствии проволочного витка, согласно гипотезе Максвелла, вихревое электрическое поле здесь всё-равно создаётся, оно и изображено на рисунке в виде замкнутых силовых линий Е (показаны чёрным цветом).

Вихревое электрическое поле принципиально отличается от электростатического поля, создаваемого неподвижными заряженными телами.

Электростатическое поле является потенциальным полем, его силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность. Работа электрических сил по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю.

Возникающее же в результате изменении магнитного поля электрическое поле являетсявихревым.

Его силовые линии нигде не начинаются и не кончаются, они представляют собой замкнутые линии (подобно силовым линиям магнитного поля).

Работа сил вихревого электрического поля по замкнутому контуру не равна нулю, так как сила и перемещение на всех участках пути совпадают по направлению и работа имеет один и тот же знак.

Чем быстрее меняется индукция В магнитного поля, тем больше напряжённость вихревого электрического поля.

Тогда физическая сущность открытого Фарадеем основного закона электромагнитной индукции, как посчитал Максвелл, может быть выражена следующим уравнением:

Уравнение (1) называется первым уравнением Максвелла.

Читается уравнение (1) так:

Циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура ( или эдс индукции) определяется скоростью изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную данным контуром.

Итак, в уравнении (1) ЭДС индукции (левая часть уравнения) представлена в виде циркуляции вектора Е по замкнутому контуру l.

Как найти циркуляцию вектора Е по замкнутому контуру l ?

Замкнутый контур надо мысленно разбить на бесконечное число элементарных отрезков dl, и на каждом отрезке dl, взять произведение проекции вектора Е на длину отрезка dl и просуммировать (проинтегрировать) их на всей длине l замкнутого контура.

(Интеграл с кружочком в левой части уравнения означает, что интегрирование (суммирование) ведётся вдоль всего замкнутого контура.

Покажем, что левая часть уравнения (1) (циркуляция вектора Е по замкнутому контуру) действительно соответствует ЭДС индукции в законе Фарадея (основном законе электромагнитной индукции).

Из определения эдс можно сказать, что ЭДС индукции численно равна отношению работы, совершаемой силами электрического вихревого поля Е к величине переносимого свободного заряда.

Эта работа находится путём суммирования (интегрирования) элементарных работ. Тогда работа по замкнутому контуру может быть выражена через напряжённость Е электрического поля:

Разделив работу на переносимый электрическим полем заряд, получим выражение для эдс индукции:

Последнее уравнение показывает, что эдс индукции это и есть циркуляции вектора Е по замкнутому контуру.

Таким образом, Максвелл заменил эдс индукции в основном законе электромагнитной индукции на циркуляцию вектора Е по замкнутому контуру.

Итак, вихревое электрическое поле, согласно Максвеллу, создаётся изменяющимся магнитным полем независимо от того, материальна эта среда или это вакуум. В этом суть первого закона Максвелла.

Затем Максвелл предсказал обратный эффект, что вокруг изменяющегося электрического поля должно возникать магнитное поле, которое ничем не должно отличаться от поля, создаваемого электрическим током; что величина возникшего магнитного поля должна зависеть от скорости изменения электрического поля.

Скорость изменения электрического поля Максвелл чисто условно назвал током смещения, так как изменяющееся электрическое поле, подобно току проводимости, создаёт магнитное поле.

На рисунке ниже показано возрастающее электрическое поле между обкладками конденсатора (чёрные линии), направленное вверх..

Красными линиями показаны силовые линии магнитного поля, создаваемого растущим электрическим полем.

Получается, что цепь переменного электрического тока, содержащая конденсатор, внутри конденсатора замыкается током смещения (изменяющимся во времени электрическим полем).:

Уравнение (2) называется вторым уравнением Максвелла:

Читается уравнение (2) так: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура (сумма произведений проекции вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок контура) определяется полным током через поверхность, ограниченную данным контуром.

Под полным током понимается сумма тока проводимости, существующего в проводах цепи переменного тока, и тока смещения, существующего между обкладками конденсатора при его зарядке и разрядке.

Уравнение (2), отражает тот факт, что вихревое магнитное поле порождается как током проводимости (движущимися электрическими зарядами), так и током смещения (переменным электрическим полем).

Введение тока смещения «уравняло в правах» электрическое и магнитное поля: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле, а изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле.

ЗАДАЧА (для студентов)

Обкладки плоского конденсатора раздвигаются с постоянной относительной скоростью 1 мм/с. Определить плотность тока смещения в момент времени t =10 с после начала раздвигания. Площадь обкладок S =100 см2, начальное расстояние между ними l=0,5 см; начальный заряд на каждой обкладке конденсатора q =1 нКл. Рассмотреть два случая: 1) конденсатор подключен к источнику напряжения; 2) конденсатор отключен от источника.

Решение.

Случай 1). Когда конденсатор подключен к источнику, то напряжение на обкладках остаётся постоянным, а напряжённость Е электрического поля между обкладками, при увеличении расстояния между ними, уменьшается:

В условии задачи сказано, что движение обкладок равномерное, тогда расстояние между ними меняется по закону

Здесь расстояние с индексом «ноль» — есть начальное расстояние между обкладками, равное 0,5 см.

Постоянное напряжение между обкладками конденсатора найдётся из формулы

Ток смещения пропорционален скорости изменения напряжённости E электрического поля:

Чтобы получить формулу для плотности тока смещения, надо ток смещения разделить на площадь S:

Совместная запись предыдущих уравнений даёт следующее выражение для плотности тока смещения:

Получаем плотность тока смещения в момент времени 10 с:

Случай 2). Когда конденсатор отключен от источника, его заряд не изменяется. Напряжённость электрического поля Е тоже не изменяется и тогда плотность тока смещения в этом случае равна нулю.

Задача решена.

Продолжаем рассматривать теорию Максвелла.

Таким образом, первое и второе уравнения Максвелла указывают на то, что электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн.

Стоит в какой-то точке пространства образоваться переменному электрическому полю, как в соседней точке создаётся переменное магнитное поле, которое в свою очередь создаёт переменное электрическое поле и т. д.,- образуется цепочка электрических и магнитных полей или электромагнитная волна.

(Сведения из истории. Уравнения (1) и (2) ранее справедливо называли уравнениями Максвелла-Герца. Максвелл хорошо знал математику. Его целью было объединить в виде формул полученные до него законы в области электричества и магнетизма. Но записанные им уравнения, устанавливающие связь между электрическим и магнитным полями, были довольно громоздкими. Не сразу можно было разглядеть физическую сущность явления, которое оно описывало. Тем не менее Герц писал: «Нельзя изучать эту удивительную теорию, не испытывая по временам такое чувство, будто в математических формулах есть самостоятельная жизнь, собственный разум — как будто они умнее нас, умнее даже своего автора, будто они дают нам больше, чем в своё время было в них вложено».

Именно Герц придал уравнениям Максвелла чёткую, математически и физически ясную форму в виде уравнений, которые сейчас называются первым и вторым уравнениями Максвелла).

Полная система уравнений Максвелла

Выше рассмотрены два уравнения Максвелла:

Уравнение (1) говорит о том, что вокруг изменяющегося потока индукции магнитного поля возникает вихревое электрическое поле.

Уравнение (2) говорит о том, что вихревое магнитное поле порождается как токами проводимости (движущимися зарядами), так и токами смещения (переменным электрическим полем).

К уравнениям (1) и (2) добавим следующие уравнения, полученные до Максвелла при изучении электрических и магнитных явлений:

Это уравнение (3) связывает индукцию D электрического поля с напряжённостью Е электрического поля.

Смысл введения вектора D состоит в том, что поток вектора D через любую замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами. Это позволяет не рассматривать связанные (поляризационные) заряды и упрощает решение многих задач).

Уравнение (4), записанное выше, связывает индукцию В магнитного поля с напряжённостью Н магнитного поля.

(Вектор В является основной характеристикой магнитного поля. Вектор Н вводится в теорию электромагнитного поля в связи с тем, что циркуляция вектора Н вдоль замкнутого контура, в отличие от циркуляции вектора В, определяется движением только свободных зарядов).

Уравнение (5) говорит о том, что поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность определяется суммарным электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме, ограниченном данной поверхностью).

Это уравнение (5) показывает, что силовые линии электростатического поля начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо уходят в бесконечность (теорема Гаусса).

Уравнение, записанное ниже, обозначим цифрой (6):

Это уравнение (6) утверждает, что силовые линии магнитного поля замкнуты: что магнитное поле является вихревым полем, что магнитных зарядов не существует (магнитное поле порождается только токами)..

Последнее уравнение (7) есть закон Ома в дифференциальной форме (плотность тока равна произведению удельной электрической проводимости материала на напряжённость электрического поля), то есть отражает тот факт, что плотность электрического тока в проводнике всегда пропорциональна напряжённости электрического поля.

Все перечисленные уравнения классической электродинамики называют системой уравнений Максвелла.

Посмотрим, к каким основным выводам привели решения уравнений Максвелла.

1. Максвелл теоретически показал, что распространение электромагнитного поля в пространстве происходит в виде электромагнитных волн.

Так, если в точке 1 пространства возникло увеличивающееся электрическое поле Е, то оно вызовет появление увеличивающегося магнитного поля Н в точке 2, которое в свою очередь вызовет появление вихревого увеличивающегося электрического поля в точке 3 и т. д.,

Если изменения Е и Н будут поддерживаться энергией некоторого источника, то в пространстве будет непрерывно распространяться электромагнитная волна.

Из уравнений Максвелла следует, что в однородной изотропной среде в области, расположенной вдали от источника, электромагнитная волна является поперечной волной.

В ней колебания векторов Е и Н совершаются во взаимно перпендикулярных между собою плоскостях, которые перпендикулярны к направлению волны x (см. рисунок ниже).

Взаимная ориентация вектора скорости волны и векторов Е и Н удовлетворяет следующему правилу: если смотреть из конца вектора скорости волны, совпадающему с направлением x распространения электромагнитной волны, то вращение от вектора Е к Н по кратчайшему расстоянию будет видно происходящим против часовой стрелки.

В свободном пространстве векторы Е и Н колеблются в одинаковой фазе (одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль)

Решение уравнений Максвелла даёт уравнение плоской электромагнитной волны:

где к волновое число, показывающее сколько длин волн укладывается в отрезке длиной «два пи»:

2. Максвелл теоретически доказал, что скорость распространения электромагнитного поля в вакууме является конечной величиной, равной:

где с — скорость света в вакууме

Совпадение скоростей электромагнитных волн и света привело Максвелла к мысли, что свет есть электромагнитная волна.

3. Из уравнений Максвелла вытекает ряд законов сохранения.

Например, из уравнений (2) и уравнения

можно получить закон сохранения электрического заряда:

полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S равен изменению заряда внутри объёма V , ограниченного этой поверхностью. .

Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

4. Электромагнитные волны переносят энергию и оказывают давление на встречающиеся на их пути тела.

Плотность энергии электромагнитного поля (энергия единицы объёма) слагается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

Плотность энергии электрического и магнитного поля в каждый момент времени одинакова, поэтому плотность энергии электромагнитного поля можно найти из следующих выражений:

Умножив последнее выражение (выражение для плотности энергии электромагнитного поля) на скорость электромагнитной волны, получим модуль вектора плотности Р потока энергии (модуль вектора Пойнтинга Р) :

или в векторной форме

Вектор Пойнтинга показывает направление распространения электромагнитной энергии и определяет энергию, переносимую волной в единицу времени через единичную, перпендикулярно ему ориентированную, площадку. Вектор Пойнтинга имеет смысл мгновенной величины.

ЗАДАЧА(для студентов).

Найти формулу, выражающую связь между интенсивностью электромагнитной волны и вектором Пойнтинга и получить выражение для интенсивности плоской электромагнитной волны.

(Интенсивностью электромагнитной волны называется средняя за период энергия, переносимая волной в единицу времени сквозь единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны).

Решение

Исходя из определения вектора Пойнтинга, определяющего энергию, переносимую волной в единицу времени, можем записать:

Тогда за период электромагнитная волна перенесёт энергию

Используя определение интенсивности, получим связь между интенсивностью и вектором Пойнтинга:

Запишем уравнения плоской электромагнитной волны

Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, то модуль вектора Пойнтинга равен

Подставив последнее выражение в выражение интенсивности, получим выражение для интенсивности плоской электромагнитной волны:

Интенсивность плоской электромагнитной волны равна половине произведения максимальных значений напряжённости электрического и магнитного полей.

Задача решена.